Dynamisch-Mechanische Analyse (DMA) – Biegebeanspruchung - Versionsgeschichte

Loeffler-Kamann am 8. Oktober 2024 um 07:42 Uhr

2024-10-08T07:42:41Z

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	<span style="font-size:1.2em;font-weight:bold;">Dynamisch-Mechanische Analyse (DMA) – Biegebeanspruchung</span><br>		<span style="font-size:1.2em;font-weight:bold;">Dynamisch-Mechanische Analyse (DMA) – Biegebeanspruchung</span><br>
	~~siehe auch:<br>~~
	~~[[Dynamisch-Mechanische Analyse (DMA) – Grundlagen]]<br>~~
	~~[[Dynamisch-Mechanische Analyse (DMA) – Zugbeanspruchung]]<br>~~
	~~[[Dynamisch-Mechanische Analyse (DMA) – Torsionsbeanspruchung]]~~
	__FORCETOC__		__FORCETOC__
	==Grundlagen==		==Grundlagen==
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	\|width="600px"\|Zeitliche Änderung von Biegespannung und [[Randfaserdehnung]] bei dynamisch-mechanischer Analyse unter Verwendung [[Dynamisch-Mechanische_Analyse_(DMA)_–_Grundlagen#Verfahren_mit_erzwungenen_Schwingungen\|erzwungener Schwingungen]]		\|width="600px"\|Zeitliche Änderung von Biegespannung und [[Randfaserdehnung]] bei dynamisch-mechanischer Analyse unter Verwendung [[Dynamisch-Mechanische_Analyse_(DMA)_–_Grundlagen#Verfahren_mit_erzwungenen_Schwingungen\|erzwungener Schwingungen]]

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	Mit Hilfe eines Frequenzgenerators kann die Anregungsfrequenz f in einem Bereich von etwa 10<sup>1</sup> Hz bis 10<sup>3</sup> Hz kontinuierlich variiert werden. Beim Durchlaufen dieses Frequenzbereiches werden am Detektor mehrere Maxima der Schwingungsamplitude registriert, die den Resonanzstellen unterschiedlicher Ordnung i (i = 1, 2, 3, …) entsprechen, wobei die Resonanzamplitude mit zunehmender Ordnungszahl immer kleiner wird, da die Dämpfung ansteigt. Aus der Resonanzfrequenz f<sub>i</sub> der i-ten Resonanzstelle, der [[Dichte]] ρ des untersuchten Werkstoffs und den Abmessungen (freie Länge L und Dicke h) kann der Realteil (Speichermodul des komplexen [[Elastizitätsmodul]]s) nach Gl. (13) ermittelt werden.		Mit Hilfe eines Frequenzgenerators kann die Anregungsfrequenz f in einem Bereich von etwa 10<sup>1</sup> Hz bis 10<sup>3</sup> Hz kontinuierlich variiert werden. Beim Durchlaufen dieses Frequenzbereiches werden am Detektor mehrere Maxima der Schwingungsamplitude registriert, die den Resonanzstellen unterschiedlicher Ordnung i (i = 1, 2, 3, …) entsprechen, wobei die Resonanzamplitude mit zunehmender Ordnungszahl immer kleiner wird, da die Dämpfung ansteigt. Aus der Resonanzfrequenz f<sub>i</sub> der i-ten Resonanzstelle, der [[Dichte]] ρ des untersuchten Werkstoffs und den Abmessungen (freie Länge L und Dicke h) kann der Realteil (Speichermodul des komplexen [[Elastizitätsmodul]]s) nach Gl. (13) ermittelt werden.

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	Ein entscheidender Nachteil des Verfahrens besteht darin, dass zur Auswertung oft nur relativ wenige Resonanzstellen zur Verfügung stehen und dass eine Beeinflussung der Lage der Resonanzstellen nur über die Veränderung der Prüfkörperabmessungen möglich ist. Bei temperaturabhängigen Messungen finden Veränderungen der Resonanzfrequenzen statt, so dass eine Ermittlung von [[Kennwert]]en bei konstanter Frequenz nicht möglich ist.		Ein entscheidender Nachteil des Verfahrens besteht darin, dass zur Auswertung oft nur relativ wenige Resonanzstellen zur Verfügung stehen und dass eine Beeinflussung der Lage der Resonanzstellen nur über die Veränderung der Prüfkörperabmessungen möglich ist. Bei temperaturabhängigen Messungen finden Veränderungen der Resonanzfrequenzen statt, so dass eine Ermittlung von [[Kennwert]]en bei konstanter Frequenz nicht möglich ist.

	==Gerätesysteme zur Durchführung der DMA==		==Gerätesysteme zur Durchführung der DMA==
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	\|width="600px"\|Schematischer Aufbau eines DMA-System der Fa. Brüel&Kjaer, Dänemark		\|width="600px"\|Schematischer Aufbau eines DMA-System der Fa. Brüel&Kjaer, Dänemark
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			==Siehe auch==
			*[[Dynamisch-Mechanische Analyse (DMA) – Grundlagen]]
			*[[Dynamisch-Mechanische Analyse (DMA) – Zugbeanspruchung]]
			*[[Dynamisch-Mechanische Analyse (DMA) – Torsionsbeanspruchung]]
			*[[Elastizitätsmodul]]


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	\|Lüpke, T.: Grundlagen mechanischen Verhaltens. In: [[Grellmann,_Wolfgang\|Grellmann, W.]], [[Seidler,_Sabine\|Seidler, S.]] (Hrsg.): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (~~2015~~) 3. Auflage S. ~~91/~~92, (ISBN 978-3-446-~~44350~~-1; siehe [[AMK-Büchersammlung]] unter A 18)		\|Lüpke, T.: Grundlagen mechanischen Verhaltens. In: [[Grellmann,_Wolfgang\|Grellmann, W.]], [[Seidler,_Sabine\|Seidler, S.]] (Hrsg.): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (2024) 4. Auflage, S. 92 – 106 (ISBN 978-3-446-44718-9; E-Book: ISBN 978-3-446-48105-3; siehe [[AMK-Büchersammlung]] unter A 23)
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Reincke am 15. November 2021 um 12:46 Uhr

2021-11-15T12:46:03Z

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	\|[2]		\|[2]
	\|DIN EN ISO 6721-3 (~~2020~~-03): Kunststoffe – Bestimmung dynamisch-mechanischer Eigenschaften – Teil 3: Biegeschwingung; Resonanzkurven-Verfahren ~~(Entwurf)~~		\|DIN EN ISO 6721-3 (2021-05): Kunststoffe – Bestimmung dynamisch-mechanischer Eigenschaften – Teil 3: Biegeschwingung; Resonanzkurven-Verfahren
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	[[Kategorie:Deformation]]		[[Kategorie:Deformation]]
	[[Kategorie:Thermoanalytische Methoden]]		[[Kategorie:Thermoanalytische Methoden]]

Posch am 14. Mai 2020 um 12:02 Uhr

2020-05-14T12:02:55Z

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	Mit Hilfe eines Frequenzgenerators kann die Anregungsfrequenz f in einem Bereich von etwa 10<sup>1</sup> Hz bis 10<sup>3</sup> Hz kontinuierlich variiert werden. Beim Durchlaufen dieses Frequenzbereiches werden am Detektor mehrere Maxima der Schwingungsamplitude registriert, die den Resonanzstellen unterschiedlicher Ordnung i (i = 1, 2, 3, …) entsprechen, wobei die Resonanzamplitude mit zunehmender Ordnungszahl immer kleiner wird, da die Dämpfung ansteigt. Aus der Resonanzfrequenz f<sub>i</sub> der i-ten Resonanzstelle, der [[Dichte]] ρ des untersuchten Werkstoffs und den Abmessungen (freie Länge L und Dicke h) kann der Realteil (Speichermodul des komplexen [[Elastizitätsmodul]]s) nach Gl. (13) ermittelt werden.		Mit Hilfe eines Frequenzgenerators kann die Anregungsfrequenz f in einem Bereich von etwa 10<sup>1</sup> Hz bis 10<sup>3</sup> Hz kontinuierlich variiert werden. Beim Durchlaufen dieses Frequenzbereiches werden am Detektor mehrere Maxima der Schwingungsamplitude registriert, die den Resonanzstellen unterschiedlicher Ordnung i (i = 1, 2, 3, …) entsprechen, wobei die Resonanzamplitude mit zunehmender Ordnungszahl immer kleiner wird, da die Dämpfung ansteigt. Aus der Resonanzfrequenz f<sub>i</sub> der i-ten Resonanzstelle, der [[Dichte]] ρ des untersuchten Werkstoffs und den Abmessungen (freie Länge L und Dicke h) kann der Realteil (Speichermodul des komplexen [[Elastizitätsmodul]]s) nach Gl. (13) ermittelt werden.

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	\|Lüpke, T.: Grundlagen mechanischen Verhaltens. In: [[Grellmann,_Wolfgang\|Grellmann, W.]], Seidler, S. (Hrsg.): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (2015) 3. Auflage S. 91/92, (ISBN 978-3-446-44350-1; siehe [[AMK-Büchersammlung]] unter A 18)		\|Lüpke, T.: Grundlagen mechanischen Verhaltens. In: [[Grellmann,_Wolfgang\|Grellmann, W.]], [[Seidler,_Sabine\|Seidler, S.]] (Hrsg.): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (2015) 3. Auflage S. 91/92, (ISBN 978-3-446-44350-1; siehe [[AMK-Büchersammlung]] unter A 18)
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	\|[2]		\|[2]
	\|DIN EN ISO 6721-3 (~~1996~~-12): Kunststoffe – Bestimmung dynamisch-mechanischer Eigenschaften – Teil 3: Biegeschwingung; Resonanzkurven-Verfahren		\|DIN EN ISO 6721-3 (2020-03): Kunststoffe – Bestimmung dynamisch-mechanischer Eigenschaften – Teil 3: Biegeschwingung; Resonanzkurven-Verfahren (Entwurf)
	\|}		\|}

	[[Kategorie:Deformation]]		[[Kategorie:Deformation]]
	[[Kategorie:Thermoanalytische Methoden]]		[[Kategorie:Thermoanalytische Methoden]]

Oluschinski am 12. August 2019 um 08:55 Uhr

2019-08-12T08:55:05Z

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	\|[1]		\|[1]
	\|Lüpke, T.: Grundlagen mechanischen Verhaltens. In: Grellmann, W., Seidler, S. (Hrsg.): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (2015) 3. Auflage S. 91/92, (ISBN 978-3-446-44350-1; siehe [[AMK-Büchersammlung]] unter A 18)		\|Lüpke, T.: Grundlagen mechanischen Verhaltens. In: [[Grellmann,_Wolfgang\|Grellmann, W.]], Seidler, S. (Hrsg.): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (2015) 3. Auflage S. 91/92, (ISBN 978-3-446-44350-1; siehe [[AMK-Büchersammlung]] unter A 18)
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Reincke am 16. Februar 2018 um 13:48 Uhr

2018-02-16T13:48:46Z

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	==Grundlagen==		==Grundlagen==

	Bei der dynamisch-mechanischen Analyse unter Biegebeanspruchung wird der genutzte [[Prüfkörper]] einer periodisch wechselnden [[Beanspruchung]] ausgesetzt, wobei durch die Variation der Frequenz der erzwungenen resonanten Schwingung die Charakterisierung der Zeitabhängigkeit des Werkstoffverhaltens möglich ist (DMA). Wird zusätzlich eine Temperierkammer verwendet, dann kann gleichzeitig die Temperaturabhängigkeit der untersuchten Eigenschaften für die betreffenden [[Kunststoffe]] erfasst und dargestellt werden (DMTA).		Bei der dynamisch-mechanischen Analyse unter [[Biegebeanspruchung]] wird der genutzte [[Prüfkörper]] einer periodisch wechselnden [[Beanspruchung]] ausgesetzt, wobei durch die Variation der Frequenz der erzwungenen resonanten Schwingung die Charakterisierung der Zeitabhängigkeit des Werkstoffverhaltens möglich ist (DMA). Wird zusätzlich eine Temperierkammer verwendet, dann kann gleichzeitig die Temperaturabhängigkeit der untersuchten Eigenschaften für die betreffenden [[Kunststoffe]] erfasst und dargestellt werden (DMTA).

	==Durchführung der DMA unter Biegebeanspruchung==		==Durchführung der DMA unter Biegebeanspruchung==

	Die DMA bzw. die DMTA unter [[Biegebeanspruchung]] zählt zu den dynamisch-mechanischen Prüfverfahren mit resonanten Schwingungen, welches für die Charakterisierung [[Viskoelastisches Werkstoffverhalten\|viskoelastischer Eigenschaften]] und der [[Glastemperatur]] eingesetzt wird.<br>		Die DMA bzw. die DMTA unter Biegebeanspruchung zählt zu den dynamisch-mechanischen Prüfverfahren mit resonanten Schwingungen, welches für die Charakterisierung [[Viskoelastisches Werkstoffverhalten\|viskoelastischer Eigenschaften]] und der [[Glastemperatur]] eingesetzt wird.<br>
	Dazu wird der Prüfkörper einer sinusförmig wechselnden mechanischen Beanspruchung veränderlicher Frequenz, wobei in der Nähe der Resonanzen eine Überhöhung der Amplituden auftritt. Bei [[Linear-viskoelastisches Verhalten\|linear-viskoelastischem Materialverhalten]] weisen die zeitlichen Änderungen von Spannung und Dehnung die identische Frequenz, aber unterschiedliche Phasenlagen nach den Gln. (1) und (2) auf ('''Bild 1''').		Dazu wird der Prüfkörper mit einer sinusförmig wechselnden mechanischen Beanspruchung veränderlicher Frequenz beansprucht, wobei in der Nähe der Resonanzen eine Überhöhung der Amplituden auftritt. Bei [[Linear-viskoelastisches Verhalten\|linear-viskoelastischem Materialverhalten]] weisen die zeitlichen Änderungen von Spannung und Dehnung die identische Frequenz, aber unterschiedliche Phasenlagen nach den Gln. (1) und (2) auf ('''Bild 1''').

	[[Datei:DMA_Biegebeanspruchung-1.jpg\|500px]]		[[Datei:DMA_Biegebeanspruchung-1.jpg\|500px]]
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	==Gerätesysteme zur Durchführung der DMA==		==Gerätesysteme zur Durchführung der DMA==

	Bei der dynamisch-mechanischen Analyse oder Spektroskopie mittels [[Biegebeanspruchung]] werden meistens Tischprüfsysteme (Stand Alone Systeme) ~~für kleinere Prüfkräfte~~ verwendet ~~werden~~. Gemeinsam ist allen Geräten, dass die [[Deformation]] des [[Prüfkörper]]s sehr klein ist und den [[Linear-viskoelastisches Verhalten\|linear-viskoelastischen]] Bereich nicht überschreiten sollte. Durch den Frequenzgenerator kann ein automatischer Frequenzdurchlauf erzeugt werden ('''Bild 5'''), der den Prüfkörper im Messstativ zu Schwingungen anregt. Die bei definierten Frequenzen entstehenden Amplitudenüberhöhungen können durch einen Schwingungsanalysator registriert und ausgewertet werden, wobei auch Informationen zur Dämpfungen und den Schwingungsmoden erhalten werden.		Bei der dynamisch-mechanischen Analyse oder Spektroskopie mittels [[Biegebeanspruchung]] werden für kleinere Prüfkräfte meistens Tischprüfsysteme (Stand Alone Systeme) verwendet. Gemeinsam ist allen Geräten, dass die [[Deformation]] des [[Prüfkörper]]s sehr klein ist und den [[Linear-viskoelastisches Verhalten\|linear-viskoelastischen]] Bereich nicht überschreiten sollte. Durch den Frequenzgenerator kann ein automatischer Frequenzdurchlauf erzeugt werden ('''Bild 5'''), der den Prüfkörper im Messstativ zu Schwingungen anregt. Die bei definierten Frequenzen entstehenden Amplitudenüberhöhungen können durch einen Schwingungsanalysator registriert und ausgewertet werden, wobei auch Informationen zur Dämpfungen und den Schwingungsmoden erhalten werden.

	[[Datei:DMA_Biegebeanspruchung-5.jpg\|500px]]		[[Datei:DMA_Biegebeanspruchung-5.jpg\|500px]]

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Dynamisch-Mechanische Analyse (DMA) – Biegebeanspruchung 
siehe auch: 
[[Dynamisch-Mechanische Analyse (DMA) – Grundlagen]] 
[[Dynamisch-Mechanische Analyse (DMA) – Zugbeanspruchung]] 
[[Dynamisch-Mechanische Analyse (DMA) – Torsionsbeanspruchung]]
__FORCETOC__
==Grundlagen==

Bei der dynamisch-mechanischen Analyse unter Biegebeanspruchung wird der genutzte [[Prüfkörper]] einer periodisch wechselnden [[Beanspruchung]] ausgesetzt, wobei durch die Variation der Frequenz der erzwungenen resonanten Schwingung die Charakterisierung der Zeitabhängigkeit des Werkstoffverhaltens möglich ist (DMA). Wird zusätzlich eine Temperierkammer verwendet, dann kann gleichzeitig die Temperaturabhängigkeit der untersuchten Eigenschaften für die betreffenden [[Kunststoffe]] erfasst und dargestellt werden (DMTA).

==Durchführung der DMA unter Biegebeanspruchung==

Die DMA bzw. die DMTA unter [[Biegebeanspruchung]] zählt zu den dynamisch-mechanischen Prüfverfahren mit resonanten Schwingungen, welches für die Charakterisierung [[Viskoelastisches Werkstoffverhalten|viskoelastischer Eigenschaften]] und der [[Glastemperatur]] eingesetzt wird. 
Dazu wird der Prüfkörper einer sinusförmig wechselnden mechanischen Beanspruchung veränderlicher Frequenz, wobei in der Nähe der Resonanzen eine Überhöhung der Amplituden auftritt. Bei [[Linear-viskoelastisches Verhalten|linear-viskoelastischem Materialverhalten]] weisen die zeitlichen Änderungen von Spannung und Dehnung die identische Frequenz, aber unterschiedliche Phasenlagen nach den Gln. (1) und (2) auf ('''Bild 1''').

[[Datei:DMA_Biegebeanspruchung-1.jpg|500px]]
{|
|- valign="top"
|width="50px"|'''Bild 1''':
|width="600px"|Zeitliche Änderung von Biegespannung und [[Randfaserdehnung]] bei dynamisch-mechanischer Analyse unter Verwendung [[Dynamisch-Mechanische_Analyse_(DMA)_–_Grundlagen#Verfahren_mit_erzwungenen_Schwingungen|erzwungener Schwingungen]]
|}

{|
|- valign="top"
|width="350px"|<math>\varepsilon_{f}\left ( t \right )=\varepsilon_{f0}\cdot \sin \omega t</math>
|width="50px"|(1)
|}

{|
|- valign="top"
|width="350px"|<math>\sigma_{f}\left ( t \right )=\sigma_{f0}\cdot \sin \left ( \omega t+\delta \right )</math>
|width="50px"|(2)
|}

Infolge der Phasenverschiebung δ zwischen Beanspruchung (Spannung) und der Verformung (Dehnung oder Scherung) ist zur Beschreibung des Spannungs-Dehnungs-Zusammenhanges der [[Elastizitätsmodul|Modul]] als komplexe Größe Ef* nach der Gl. (3) gültig.

{|
|- valign="top"
|width="350px"|<math>E_{f}^{\ast }=E^{\prime}_{f}+i E^{\prime\prime}_{f}</math>
|width="50px"|(3)
|}

Der komplexe Modul kann als Vektor in der komplexen Zahlenebene betrachtet werden ('''Bild 2'''), dessen Richtung durch den Phasenwinkel δ und dessen Betrag durch das Verhältnis der Amplitudenwerte von applizierter erzwungenen Spannung und Dehnung gegeben ist.

[[Datei:DMA_Biegebeanspruchung-2.jpg|300px]]
{|
|- valign="top"
|width="50px"|'''Bild 2''':
|width="600px"|Darstellung des Biege-Moduls Ef* in der komplexen Zahlenebene
|}

Der Absolutbetrag des jeweiligen Moduls ergibt sich aus dem Verhältnis der Initialbeanspruchung zur Ausgangsverformung nach der Gl. (4).

{|
|- valign="top"
|width="350px"|<math>\left | E_{f}^{\ast } \right |=\frac{\sigma_{f0}}{\varepsilon_{f0}}</math>
|width="50px"|(4)
|}

Unter Verwendung einfacher trigonometrischer Beziehungen ist dann eine Aufteilung in den Realteil Ef‘ und den Imaginärteil Ef‘‘, die mit den Gln. (5) und (6) vorgenommen wird. Der Realteil Ef‘ wird als Speichermodul bezeichnet und ist ein Maß für die während einer Schwingungsperiode gespeicherte reversible Energie Wrev. Der Imaginäranteil Ef‘‘ erfasst die in der jeweiligen Periode dissipierte Energie Wirrev und wird als Verlustmodul benannt. Aus dem Verhältnis von Verlust- und Speichermodul ergibt sich der Verlustfaktor d = tan δ, welcher das Dämpfungsverhalten des Werkstoffs nach Gl. (7) beschreibt. Der Wert δ ist dabei der sogenannte Phasenwinkel, der Werte zwischen 0 und π/2 annehmen kann [1].

{|
|- valign="top"
|width="350px"|<math>E^{\prime}_{f}=E_{f}^{\ast }\cdot \cos \delta =\frac{\sigma _{f0}}{\varepsilon _{f0}}\cdot \cos \delta </math>
|width="50px"|(5)
|}

{|
|- valign="top"
|width="350px"|<math>E^{\prime\prime}_{f}=E_{f}^{\ast }\cdot \sin \delta =\frac{\sigma _{f0}}{\varepsilon _{f0}}\cdot \sin\delta </math>
|width="50px"|(6)
|}

{|
|- valign="top"
|width="350px"|<math>\tan \delta=\frac{E^{\prime\prime}_{f}}{E^{\prime}_{f}}=\frac{1}{2\pi}\cdot \frac{W_{irrev}}{W_{rev}}</math>
|width="50px"|(7)
|}

Regt man einen Prüfkörper im Biegeschwingversuche nach DIN EN ISO 6721-3 [2] mit erzwungenen Resonanzschwingungen an, dann treten je nach verwendeter Einspannung und Prüfkörpergeometrie typische Prüfkörperresonanzen auf, die mit der Wellenlänge korrespondieren. Erfolgt die Anregung im Resonanzgebiet mit einer konstanten Kraftamplitude, so durchläuft die Amplitude der Auslenkung ein Maximum (Bild 3), wobei die jeweilige Resonanzfrequenz fi und deren Halbwertsbreite Δfi mit den [[Viskoelastisches Werkstoffverhalten|viskoelastischen Eigenschaften]] des untersuchten Werkstoffs im Zusammenhang stehen.

[[Datei:DMA_Biegebeanspruchung-3.jpg|300px]]
{|
|- valign="top"
|width="50px"|'''Bild 3''':
|width="600px"|Schematische Resonanzkurve eines viskoelastischen Werkstoffs
|}

Als Prüfkörper werden prismatischer Stäbe verwendet, die entweder einseitig eingespannt sind (Verfahren A) oder an Textilfäden in den Schwingungsknoten aufgehängt werden (Verfahren B) [2] ('''Bild 4'''). Die Anregung und Registrierung der Biegeschwingungen erfolgt berührungsfrei über induktive oder kapazitive Wandler, die über dünne, auf der Prüfkörperoberfläche des [[Kunststoffe]]s aufgeklebte Metallplättchen.

[[Datei:DMA_Biegebeanspruchung-4.jpg|500px]]
{|
|- valign="top"
|width="50px"|'''Bild 4''':
|width="600px"|Prüfanordnung zur Ermittlung viskoelastischer Eigenschaften mit erzwungenen Schwingungen im Resonanzbereich (a) mit fest dreistäbiger Einspannung und (b) freier Aufhängung des Prüfkörpers
|}

Die Differentialgleichung (8) der Biegeschwingung kann mittels des BERNOULLI-Ansatzes nach Gl. (9) gelöst werden, wodurch die Orts- und Zeitfunktion der Schwingung Gln. (10) und (11) entstehen.

{|
|- valign="top"
|width="500px"|<math>E_{f}l_{y}\cdot \frac{\partial ^{4}w}{\partial t^{4}}-F\frac{\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}+\rho \cdot A\frac{\partial ^{2}w}{\partial t^{2}}+k\frac{\partial w}{\partial t}=p\left ( x,t \right )</math>
|width="50px"|(8)
|}

{|
|- valign="top"
|width="350px"|<math>w(x,t)=X(x)T(t)\!</math>
|width="50px"|(9)
|}

{|
|- valign="top"
|width="350px"|<math>X^{(4)}(x)-\frac{F}{E_{f}l_{y}}){X}^{\prime\prime}(x)-\frac{\beta_{i}^{4}}{L^{4}}X(x)=0</math>
|width="50px"|(10)
|}

{|
|- valign="top"
|width="350px"|<math>\ddot{T}(t)+\frac{k}{\rho A}\dot{T}(t)+\omega ^{2}T(t)=p(x,t)</math>
|width="50px"|(11)
|}

{|
|- valign="top"
|rowspan="10" width="30px"|mit:
|width="50px"|Efly
|width="20px"|–
|width="350px"|Biegesteifigkeit
|-
|L
|–
|Prüfkörperlänge
|-
|A
|–
|Prüfkörperquerschnitt
|-
|F
|–
|Prüfkraft
|-
|ρ
|–
|Prüfkörper[[dichte]]
|-
|k
|–
|Prüfkörperdämpfung
|-
|w
|–
|Prüfkörperdurchbiegung
|-
|x
|–
|Amplitude
|-
|ω
|–
|Kreisfrequenz
|-
|βi
|–
|i-ter Eigenwert
|}

Aus der Lösung des Eigenwertproblems nach Gl. (10) erhält man die Eigenwertgleichung der Differentialgleichung für die Resonanzfrequenzen nach Gl. (12) für die unterschiedlichen Lagerungsfälle des Prüfkörpers βi2, die in der '''Tabelle 1''' dargestellt sind.

{|
|- valign="top"
|width="350px"|<math>\frac{\rho A}{E_{f}l_{y}}\cdot \omega ^{2}=\frac{\beta_{i}^{4}}{L^{4}}</math>
|width="50px"|(12)
|}

{|
|- valign="top"
|width="350px"|'''Tabelle 1''': Eigenwerte zur Bestimmung des Speichermoduls
|}

{|border="1px" style="border-collapse:collapse"
!! style="width: 200px; background:#DCDCDC"|Ordnungszahl i
!! style="width: 200px; background:#DCDCDC"|einseitig eingespannt (Verfahren A)
!! style="width: 200px; background:#DCDCDC"|frei aufgehängt (Verfahren B)
|-
|1
|3,52
|22,4
|-
|2
|22,0
|61,7
|-
|>2
|(2i - 1)·π/2
|(2i + 1)·π/2
|}

Mit Hilfe eines Frequenzgenerators kann die Anregungsfrequenz f in einem Bereich von etwa 101 Hz bis 103 Hz kontinuierlich variiert werden. Beim Durchlaufen dieses Frequenzbereiches werden am Detektor mehrere Maxima der Schwingungsamplitude registriert, die den Resonanzstellen unterschiedlicher Ordnung i (i = 1, 2, 3, …) entsprechen, wobei die Resonanzamplitude mit zunehmender Ordnungszahl immer kleiner wird, da die Dämpfung ansteigt. Aus der Resonanzfrequenz fi der i-ten Resonanzstelle, der [[Dichte]] ρ des untersuchten Werkstoffs und den Abmessungen (freie Länge L und Dicke h) kann der Realteil (Speichermodul des komplexen [[Elastizitätsmodul]]s) nach Gl. (13) ermittelt werden.

{|
|- valign="top"
|width="350px"|<math>E^{\prime}=48\pi ^{2}\cdot \rho \frac{L^{4}}{h^{2}}\left [ \frac{f_{i}}{\beta _{i}^{2}} \right ]^{2}</math>
|width="50px"|(13)
|}

Aus der Halbwertsbreite der Resonanzkurve Δfi und der Resonanzfrequenz fi kann nach der Gl. (14) als weitere [[Kenngröße]] der Verlustfaktor tan δ und nach Gl. (15) der Verlustmodul berechnet werden, falls der Verlustfaktor des Werkstoffe ≤ 0,1 ist.

{|
|- valign="top"
|width="350px"|<math>\tan \delta =\frac{\Delta f_{i}}{f_{i}}</math>
|width="50px"|(14)
|}

{|
|- valign="top"
|width="350px"|<math>E^{\prime\prime} = E^{\prime} \cdot \tan \delta </math>
|width="50px"|(15)
|}

Bei Werkstoffen mit geringer Eigendämpfung (tan δ < 0,01) sollte die Analyse frei abklingender Schwingungen nach Abschalten des Erregers bei Resonanzfrequenz genutzt werden. Dabei entsteht eine Abnahme der Amplituden aufeinanderfolgender Schwingungen, aus der sich mit dem logarithmischen Dekrement Λ der Verlustfaktor ebenfalls bestimmen lässt (siehe Gl. (16)).

{|
|- valign="top"
|width="350px"|<math>\tan\delta =\frac{\Lambda }{\pi }=\frac{1}{\pi }\ln \frac{A_{n-1}}{A_{n}}</math>
|width="50px"|(16)
|}

Ein entscheidender Nachteil des Verfahrens besteht darin, dass zur Auswertung oft nur relativ wenige Resonanzstellen zur Verfügung stehen und dass eine Beeinflussung der Lage der Resonanzstellen nur über die Veränderung der Prüfkörperabmessungen möglich ist. Bei temperaturabhängigen Messungen finden Veränderungen der Resonanzfrequenzen statt, so dass eine Ermittlung von [[Kennwert]]en bei konstanter Frequenz nicht möglich ist.

==Gerätesysteme zur Durchführung der DMA==

Bei der dynamisch-mechanischen Analyse oder Spektroskopie mittels [[Biegebeanspruchung]] werden meistens Tischprüfsysteme (Stand Alone Systeme) für kleinere Prüfkräfte verwendet werden. Gemeinsam ist allen Geräten, dass die [[Deformation]] des [[Prüfkörper]]s sehr klein ist und den [[Linear-viskoelastisches Verhalten|linear-viskoelastischen]] Bereich nicht überschreiten sollte. Durch den Frequenzgenerator kann ein automatischer Frequenzdurchlauf erzeugt werden ('''Bild 5'''), der den Prüfkörper im Messstativ zu Schwingungen anregt. Die bei definierten Frequenzen entstehenden Amplitudenüberhöhungen können durch einen Schwingungsanalysator registriert und ausgewertet werden, wobei auch Informationen zur Dämpfungen und den Schwingungsmoden erhalten werden.

[[Datei:DMA_Biegebeanspruchung-5.jpg|500px]]
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|width="50px"|'''Bild 5''':
|width="600px"|Schematischer Aufbau eines DMA-System der Fa. Brüel&Kjaer, Dänemark
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'''Literaturhinweise'''

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|[1]
|Lüpke, T.: Grundlagen mechanischen Verhaltens. In: Grellmann, W., Seidler, S. (Hrsg.): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (2015) 3. Auflage S. 91/92, (ISBN 978-3-446-44350-1; siehe [[AMK-Büchersammlung]] unter A 18)
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|[2]
|DIN EN ISO 6721-3 (1996-12): Kunststoffe – Bestimmung dynamisch-mechanischer Eigenschaften – Teil 3: Biegeschwingung; Resonanzkurven-Verfahren
|}

[[Kategorie:Deformation]]
[[Kategorie:Thermoanalytische Methoden]]