Ebener Spannungszustand - Versionsgeschichte

Loeffler-Kamann am 8. Oktober 2024 um 07:47 Uhr

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			==Siehe auch==
			*[[Einachsiger Spannungszustand]]
			*[[Energieelastizität]]
			*[[Rissmodell nach IRWIN und Mc CLINTOCK]]
			*[[Plastische Zone]]
			*[[Plastic-Hinge-Modell]]


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	\|[[Bierögel,_Christian\|Bierögel, C.]]: Quasistatische Prüfverfahren. In: [[Grellmann,_Wolfgang\|Grellmann, W.]], [[Seidler,_Sabine\|Seidler, S.]] (Hrsg.): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (~~2015~~) 3. Auflage, S. ~~111–158~~ (ISBN 978-3-446-~~44350~~-1; siehe [[AMK-Büchersammlung]] unter A 18)		\|[[Bierögel,_Christian\|Bierögel, C.]]: Quasistatische Prüfverfahren. In: [[Grellmann,_Wolfgang\|Grellmann, W.]], [[Seidler,_Sabine\|Seidler, S.]] (Hrsg.): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (2024) 4. Auflage, S. 106–140 (ISBN 978-3-446-44718-9; E-Book: ISBN 978-3-446-48105-3; siehe [[AMK-Büchersammlung]] unter A 23)

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	[[Kategorie:Bruchmechanik]]		[[Kategorie:Bruchmechanik]]
	[[Kategorie:Deformation]]		[[Kategorie:Deformation]]

Oluschinski am 12. August 2019 um 09:09 Uhr

2019-08-12T09:09:31Z

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	\|Bierögel, C.: Quasistatische Prüfverfahren. In: Grellmann, W., [[Seidler,_Sabine\|Seidler, S.]] (Hrsg.): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (2015) 3. Auflage, S. 111–158 (ISBN 978-3-446-44350-1; siehe [[AMK-Büchersammlung]] unter A 18)		\|[[Bierögel,_Christian\|Bierögel, C.]]: Quasistatische Prüfverfahren. In: [[Grellmann,_Wolfgang\|Grellmann, W.]], [[Seidler,_Sabine\|Seidler, S.]] (Hrsg.): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (2015) 3. Auflage, S. 111–158 (ISBN 978-3-446-44350-1; siehe [[AMK-Büchersammlung]] unter A 18)

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Reincke am 16. Februar 2018 um 13:50 Uhr

2018-02-16T13:50:29Z

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	Dabei ist zu erkennen, dass die Dehnung in der jeweiligen Achsenrichtung primär durch die Spannung in der gleichen Achse hervorgerufen wird, aber ein zusätzlicher Dehnungsanteil aus den anderen Spannungsrichtungen, abhängig von der [[Querkontraktion\|Poissonzahl]] ν und dem [[Elastizitätsmodul\|E-Modul E]], hinzukommt. Bei einer einachsigen Beanspruchung im [[Zugversuch\|Zug]]- oder [[Druckversuch]] entsteht neben der Längsdehnung ε<sub>x</sub> eine Querdehnung ε<sub>y</sub> und ε<sub>z</sub>, d. h. in der Breiten- und Dickenrichtung des [[Prüfkörper]]s, falls ein ebener Spannungszustand (ESZ) vorliegt. Das ist in der Regel dann erfüllt, wenn ein hinreichend schlanker [[Prüfkörper]] verwendet wird, der die Messung der Querdehnung in der Breiten- oder Dickenrichtung erlaubt ('''Bild 1''').		Dabei ist zu erkennen, dass die Dehnung in der jeweiligen Achsenrichtung primär durch die Spannung in der gleichen Achse hervorgerufen wird, aber ein zusätzlicher Dehnungsanteil aus den anderen Spannungsrichtungen, abhängig von der [[Querkontraktion\|Poissonzahl]] ν und dem [[Elastizitätsmodul\|E-Modul E]], hinzukommt. Bei einer [[Einachsiger Spannungszustand\|einachsigen]] Beanspruchung im [[Zugversuch\|Zug]]- oder [[Druckversuch]] entsteht neben der Längsdehnung ε<sub>x</sub> eine Querdehnung ε<sub>y</sub> und ε<sub>z</sub>, d. h. in der Breiten- und Dickenrichtung des [[Prüfkörper]]s, falls ein ebener Spannungszustand (ESZ) vorliegt. Das ist in der Regel dann erfüllt, wenn ein hinreichend schlanker [[Prüfkörper]] verwendet wird, der die Messung der Querdehnung in der Breiten- oder Dickenrichtung erlaubt ('''Bild 1''').

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	Die entstehende Längsdehnung ε<sub>x</sub> soll identisch sein, weshalb aufgrund des größeren Querschnitts A<sub>0</sub> eine erhöhte Normalspannung σ<sub>x</sub> erforderlich ist. Zur Erklärung dieses Sachverhaltes kann man eine identische Geometrie wie in '''Bild 1''' annehmen, wobei allerdings eine mögliche Breitenänderung des [[Prüfkörper]]s durch seitliche Widerlager verhindert wird ('''Bild 3'''). Könnte man diese Widerlager zusätzlich mit einer Vielzahl von [[Elektro-Mechanischer Kraftaufnehmer~~\|Kraftmessdosen~~]] ausstatten, dann wären die Kräfte in der Breiten- und Dickenrichtung des Prüfkörpers messtechnisch erfassbar. Bei Belastung würde dann eine identische Längsdehnung ε<sub>x</sub> entsprechend Gl. (3) und eine höhere Normalspannung σ<sub>x</sub> entstehen. Eine Poissonzahl ν kann in diesem Fall nicht mehr berechnet werden, da die Dehnungen ε<sub>y</sub> und ε<sub>z</sub> gleich Null sind. Da in diesem simulierten Zustand Kräfte in y- und z-Richtung gemessen würden, entstehen somit auch Spannungen in diese Richtungen deren Betrag sich nach Gl. (1) berechnen lässt [1].		Die entstehende Längsdehnung ε<sub>x</sub> soll identisch sein, weshalb aufgrund des größeren Querschnitts A<sub>0</sub> eine erhöhte Normalspannung σ<sub>x</sub> erforderlich ist. Zur Erklärung dieses Sachverhaltes kann man eine identische Geometrie wie in '''Bild 1''' annehmen, wobei allerdings eine mögliche Breitenänderung des [[Prüfkörper]]s durch seitliche Widerlager verhindert wird ('''Bild 3'''). Könnte man diese Widerlager zusätzlich mit einer Vielzahl von Kraftmessdosen (siehe: [[Elektro-Mechanischer Kraftaufnehmer]] und [[Piezoelektrischer Kraftaufnehmer]]) ausstatten, dann wären die Kräfte in der Breiten- und Dickenrichtung des Prüfkörpers messtechnisch erfassbar. Bei Belastung würde dann eine identische Längsdehnung ε<sub>x</sub> entsprechend Gl. (3) und eine höhere Normalspannung σ<sub>x</sub> entstehen. Eine Poissonzahl ν kann in diesem Fall nicht mehr berechnet werden, da die Dehnungen ε<sub>y</sub> und ε<sub>z</sub> gleich Null sind. Da in diesem simulierten Zustand Kräfte in y- und z-Richtung gemessen würden, entstehen somit auch Spannungen in diese Richtungen deren Betrag sich nach Gl. (1) berechnen lässt [1].

	[[Datei:edz3.jpg]]		[[Datei:edz3.jpg]]

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{{PSM_Infobox}}
Ebener Spannungs- und Dehnungszustand
__FORCETOC__
==Verallgemeinerndes HOOKE'sches Gesetz==

Bei Annahme von isotropen Werkstoffeigenschaften in allen Raum- bzw. Achsenrichtungen ergibt sich das verallgemeinerte [[HOOKE%C2%B4sche_Gesetz|HOOKE’sche Gesetz]] (Gl.1) wie folgt:

{|
|-
|width="20px"|
|width="500px" | <math>\epsilon_{11}=\frac{\sigma_{11}}{E}-\frac{\nu}{E}(\sigma_{22}+\sigma_{33})</math> <math>\epsilon_{22}=\frac{\sigma_{22}}{E}-\frac{\nu}{E}(\sigma_{33}+\sigma_{11})</math> <math>\epsilon_{33}=\frac{\sigma_{33}}{E}-\frac{\nu}{E}(\sigma_{11}+\sigma_{22})</math>
|(1)
|}

Dabei ist zu erkennen, dass die Dehnung in der jeweiligen Achsenrichtung primär durch die Spannung in der gleichen Achse hervorgerufen wird, aber ein zusätzlicher Dehnungsanteil aus den anderen Spannungsrichtungen, abhängig von der [[Querkontraktion|Poissonzahl]] ν und dem [[Elastizitätsmodul|E-Modul E]], hinzukommt. Bei einer einachsigen Beanspruchung im [[Zugversuch|Zug]]- oder [[Druckversuch]] entsteht neben der Längsdehnung εx eine Querdehnung εy und εz, d. h. in der Breiten- und Dickenrichtung des [[Prüfkörper]]s, falls ein ebener Spannungszustand (ESZ) vorliegt. Das ist in der Regel dann erfüllt, wenn ein hinreichend schlanker [[Prüfkörper]] verwendet wird, der die Messung der Querdehnung in der Breiten- oder Dickenrichtung erlaubt ('''Bild 1''').

[[Datei:edz1.jpg]]
{|
|- valign="top"
|width="50px"|'''Bild 1''':
|width="600px" |Deformation des [[Prüfkörper]]s unter Belastung im ebenen Spannungszustand
|}

Neben der Normalspannung σx (Gl. 2) entsteht bei der Belastung eine Längsdehnung εx oder εL (Gl. 3) sowie eine Querdehnung in der Breiten- und Dickenrichtung (Gl. 4).

{|
|-
|width="20px"|
|width="500px" | <math>\sigma_{x}=\frac{F_{x}}{A_{0}}</math>
|(2)
|}

{|
|-
|width="20px"|
|width="500px" | <math>\epsilon_{x}=\epsilon_{L}=\frac{L-L_{0}}{L_{0}}=\frac{\Delta L}{L_{0}}</math>
|(3)
|}

{|
|-
|width="20px"|
|width="500px" | <math>\epsilon_{y}=\epsilon_{q}=\frac{B-B_{0}}{B_{0}}=\frac{\Delta B}{B_{0}}</math>
|(4)
|}

Bei Isotropie und homogenem Werkstoffzustand ist die Dehnung in Breitenrichtung εy und in Dickenrichtung εz (Gl. 5) identisch, wobei für beide Querdehnungen jeweils der Absolutbetrag angegeben wird. Die Spannungen σy und σz sind im ebenen Spannungszustand gleich Null.

{|
|-
|width="20px"|
|width="500px" | <math>\epsilon_{z}=\epsilon_{q}=\frac{H_{0}-H}{H_{0}}=\frac{\Delta H}{H_{0}}</math>
|(5)
|}

==Ermittlung der Poissonzahl==

Die [[Poissonzahl]] oder auch Querkontraktionszahl berechnet sich dann nach Gl. (6):

{|
|-
|width="20px"|
|width="500px" | <math>\nu=\nu_{B}=\nu_{H}=\frac{\epsilon_{y}}{\epsilon_{L}}=\frac{\epsilon_{z}}{\epsilon_{L}}=\frac{\epsilon_{q}}{\epsilon_{L}}</math>
|(6)
|}

Verwendet man statt des schlanken Prüfkörpers einen dickeren und/oder breiteren prismatischen [[Prüfkörper]] entsprechend '''Bild 2''', dann wird sowohl in Dicken- als auch Breitenrichtung kein messbares Dehnungssignal erhalten, da sich der Prüfkörper jetzt im ebenen Dehnungszustand (EDZ) befindet.

[[Datei:edz2.jpg]]
{|
|- valign="top"
|width="50px"|'''Bild 2''':
|width="600px" |Deformation des Prüfkörpers unter Belastung im ebenen Dehnungszustand
|}

Die entstehende Längsdehnung εx soll identisch sein, weshalb aufgrund des größeren Querschnitts A0 eine erhöhte Normalspannung σx erforderlich ist. Zur Erklärung dieses Sachverhaltes kann man eine identische Geometrie wie in '''Bild 1''' annehmen, wobei allerdings eine mögliche Breitenänderung des [[Prüfkörper]]s durch seitliche Widerlager verhindert wird ('''Bild 3'''). Könnte man diese Widerlager zusätzlich mit einer Vielzahl von [[Elektro-Mechanischer Kraftaufnehmer|Kraftmessdosen]] ausstatten, dann wären die Kräfte in der Breiten- und Dickenrichtung des Prüfkörpers messtechnisch erfassbar. Bei Belastung würde dann eine identische Längsdehnung εx entsprechend Gl. (3) und eine höhere Normalspannung σx entstehen. Eine Poissonzahl ν kann in diesem Fall nicht mehr berechnet werden, da die Dehnungen εy und εz gleich Null sind. Da in diesem simulierten Zustand Kräfte in y- und z-Richtung gemessen würden, entstehen somit auch Spannungen in diese Richtungen deren Betrag sich nach Gl. (1) berechnen lässt [1].

[[Datei:edz3.jpg]]
{|
|- valign="top"
|width="50px"|'''Bild 3''':
|width="600px" |Simulation des schlanken Prüfkörpers im ebenen Dehnungszustand
|}

'''Literaturhinweis'''
{|
|-valign="top"
|[1]
|Bierögel, C.: Quasistatische Prüfverfahren. In: Grellmann, W., [[Seidler,_Sabine|Seidler, S.]] (Hrsg.): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (2015) 3. Auflage, S. 111–158 (ISBN 978-3-446-44350-1; siehe [[AMK-Büchersammlung]] unter A 18)

|}

[[Kategorie:Bruchmechanik]]
[[Kategorie:Deformation]]

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