MAXWELL-Modell - Versionsgeschichte

Loeffler-Kamann am 26. Februar 2025 um 09:35 Uhr

2025-02-26T09:35:19Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. Februar 2025, 11:35 Uhr
Zeile 82:		Zeile 82:
	\|width="600px"\|Zeitverhalten des MAXWELL-Modells (Relaxationsverhalten)		\|width="600px"\|Zeitverhalten des MAXWELL-Modells (Relaxationsverhalten)
	\|}		\|}

			==Siehe auch==
			*[[Linear-viskoelastisches Verhalten]]
			*[[Viskoelastisches Werkstoffverhalten]]
			*[[HOOKE´sche Gesetz]]
			*[[Relaxation Kunststoffe]]
			*[[Relaxationsverhalten Ermittlung]]


Zeile 88:		Zeile 95:
	\|-valign="top"		\|-valign="top"
	\|[1]		\|[1]
	\|Lüpke, T.: Grundlagen mechanischen Verhaltens. In: [[Grellmann,_Wolfgang\|Grellmann, W.]], [[Seidler,_Sabine\|Seidler, S.]] (Hrsg.): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (~~2015~~) 3. Auflage S. 91/~~92,~~ (ISBN 978-3-446-~~44350~~-1; siehe [[AMK-Büchersammlung]] unter A 18)		\|Lüpke, T.: Grundlagen mechanischen Verhaltens. In: [[Grellmann,_Wolfgang\|Grellmann, W.]], [[Seidler,_Sabine\|Seidler, S.]] (Hrsg.): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (2025) 4. Auflage, S. 87/88 (ISBN 978-3-446-44718-9; E-Book: ISBN 978-3-446-48105-3; siehe [[AMK-Büchersammlung]] unter A 23)
	\|-valign="top"		\|-valign="top"
	\|[2]		\|[2]
	\|[[Bierögel, Christian\|Bierögel, C.]]: Biegeversuch an Kunststoffen. In: [https://www.researchgate.net/profile/Wolfgang-Grellmann Grellmann, W.], Seidler, S. (Hrsg.): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (~~2015~~) 3. Auflage, S. ~~147–158~~ (ISBN 978-3-446-~~44350~~-1; siehe [[AMK-Büchersammlung]] unter A 18)		\|[[Bierögel, Christian\|Bierögel, C.]]: Biegeversuch an Kunststoffen. In: [https://www.researchgate.net/profile/Wolfgang-Grellmann Grellmann, W.], Seidler, S. (Hrsg.): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (2025) 4. Auflage, S. 141–151 (ISBN 978-3-446-44718-9; E-Book: ISBN 978-3-446-48105-3; siehe [[AMK-Büchersammlung]] unter A 23)
	\|}		\|}

	[[Kategorie:Deformation]]		[[Kategorie:Deformation]]

Oluschinski am 28. November 2022 um 12:00 Uhr

2022-11-28T12:00:10Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. November 2022, 14:00 Uhr
Zeile 18:		Zeile 18:
	\|}		\|}

	Bei Belastung der Feder entsteht spontan eine Verlängerung, die sich bei Entlastung verzögerungsfrei auf die Ausgangslänge zurückstellt. Bei linearem [[Energieelastizität\|energieelastischem Verhalten]] zwischen Federkraft und Verlängerung bzw. Spannung und Dehnung ist eine vollständige Beschreibung durch das [[HOOKE´sche_Gesetz\|HOOKE’sche Gesetz]] (Gl.1) möglich.		Bei Belastung der Feder entsteht spontan eine Verlängerung, die sich bei Entlastung verzögerungsfrei auf die Ausgangslänge zurückstellt. Bei linearem [[Energieelastizität\|energieelastischem Verhalten]] zwischen Federkraft und Verlängerung bzw. Spannung und Dehnung ist eine vollständige Beschreibung durch das [[HOOKE´sche_Gesetz\|HOOKE’sche Gesetz]] (Gl. 1) möglich.

	{\|		{\|
Zeile 91:		Zeile 91:
	\|-valign="top"		\|-valign="top"
	\|[2]		\|[2]
	\|[[Bierögel, Christian\|Bierögel, C.]]: Biegeversuch an Kunststoffen. In: Grellmann, W., Seidler, S. (Hrsg.): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (2015) 3. Auflage, S. 147–158 (ISBN 978-3-446-44350-1; siehe [[AMK-Büchersammlung]] unter A 18)		\|[[Bierögel, Christian\|Bierögel, C.]]: Biegeversuch an Kunststoffen. In: [https://www.researchgate.net/profile/Wolfgang-Grellmann Grellmann, W.], Seidler, S. (Hrsg.): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (2015) 3. Auflage, S. 147–158 (ISBN 978-3-446-44350-1; siehe [[AMK-Büchersammlung]] unter A 18)
	\|}		\|}

	[[Kategorie:Deformation]]		[[Kategorie:Deformation]]

Oluschinski am 13. August 2019 um 06:13 Uhr

2019-08-13T06:13:06Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. August 2019, 08:13 Uhr
Zeile 9:		Zeile 9:
	==Feder- und Dämpfermodell der linearen Viskosität==		==Feder- und Dämpfermodell der linearen Viskosität==

	Der elastische Anteil (HOOKE’sche Feder: '''Bild 1a''') bewirkt eine spontane, begrenzte, reversible Verformung (siehe auch: [[HOOKE´sche_Gesetz\|HOOKE´sches Gesetz]]), während der viskose Anteil (Newton’scher Dämpfer: '''Bild 1b''') grundsätzlich eine zeitabhängige, unbegrenzte, irreversible [[Deformation]] hervorruft. Der viskose und elastische Anteil ist bei verschiedenen viskoelastischen Kunststoffen jeweils unterschiedlich stark ausgeprägt und die Art des Zusammenwirkens beider Anteile differiert. Das [[~~linear-~~viskoelastisches ~~Verhalten~~\|viskoelastisches Verhalten]] kann also durch die Kombination zweier oder mehrerer dieser Elemente modelliert werden [1].		Der elastische Anteil (HOOKE’sche Feder: '''Bild 1a''') bewirkt eine spontane, begrenzte, reversible Verformung (siehe auch: [[HOOKE´sche_Gesetz\|HOOKE´sches Gesetz]]), während der viskose Anteil (Newton’scher Dämpfer: '''Bild 1b''') grundsätzlich eine zeitabhängige, unbegrenzte, irreversible [[Deformation]] hervorruft. Der viskose und elastische Anteil ist bei verschiedenen viskoelastischen Kunststoffen jeweils unterschiedlich stark ausgeprägt und die Art des Zusammenwirkens beider Anteile differiert. Das [[viskoelastisches Werkstoffverhalten\|viskoelastisches Verhalten]] kann also durch die Kombination zweier oder mehrerer dieser Elemente modelliert werden [1].

	[[Datei:Maxwell-Modell1.png\|450px]]		[[Datei:Maxwell-Modell1.png\|450px]]
Zeile 18:		Zeile 18:
	\|}		\|}

	Bei Belastung der Feder entsteht spontan eine Verlängerung, die sich bei Entlastung verzögerungsfrei auf die Ausgangslänge zurückstellt. Bei linearem energieelastischem Verhalten zwischen Federkraft und Verlängerung bzw. Spannung und Dehnung ist eine vollständige Beschreibung durch das [[HOOKE´sche_Gesetz\|HOOKE’sche Gesetz]] (Gl.1) möglich.		Bei Belastung der Feder entsteht spontan eine Verlängerung, die sich bei Entlastung verzögerungsfrei auf die Ausgangslänge zurückstellt. Bei linearem [[Energieelastizität\|energieelastischem Verhalten]] zwischen Federkraft und Verlängerung bzw. Spannung und Dehnung ist eine vollständige Beschreibung durch das [[HOOKE´sche_Gesetz\|HOOKE’sche Gesetz]] (Gl.1) möglich.

	{\|		{\|
Zeile 38:		Zeile 38:
	==Das MAXWELL-Modell==		==Das MAXWELL-Modell==

	Die Reihenschaltung der beiden Elemente (Feder und Dämpfer) ergibt das MAXWELL-Modell ('''Bild 2'''). Bei einer Belastung verformt sich die Feder unverzüglich, danach beginnt die zeitabhängige und unbegrenzte viskose Verformung, die von der Viskosität abhängig ist. Nach Entlastung bewegt sich nur die Feder zurück und der viskose Anteil bleibt bestehen. Es liegt demzufolge eine zeitabhängige, unbegrenzte, irreversible Verformung wie bei einer Flüssigkeit vor, allerdings gibt es auch einen zeitunabhängigen und reversiblen spontanelastischen Anteil wie bei einem Festkörper. Das MAXWELL-Modell stellt den einfachsten Modellansatz zur Beschreibung des [[Relaxation Kunststoffe\|Relaxationsverhalten von Kunststoffen]] dar [2], der auf der Addition von elastischen und viskosen Deformationsanteilen ([[~~Dehnrate Applikationen\|Dehnraten~~]]) beruht (Gl. 3).		Die Reihenschaltung der beiden Elemente (Feder und Dämpfer) ergibt das MAXWELL-Modell ('''Bild 2'''). Bei einer Belastung verformt sich die Feder unverzüglich, danach beginnt die zeitabhängige und unbegrenzte viskose Verformung, die von der Viskosität abhängig ist. Nach Entlastung bewegt sich nur die Feder zurück und der viskose Anteil bleibt bestehen. Es liegt demzufolge eine zeitabhängige, unbegrenzte, irreversible Verformung wie bei einer Flüssigkeit vor, allerdings gibt es auch einen zeitunabhängigen und reversiblen spontanelastischen Anteil wie bei einem Festkörper. Das MAXWELL-Modell stellt den einfachsten Modellansatz zur Beschreibung des [[Relaxation Kunststoffe\|Relaxationsverhalten von Kunststoffen]] dar [2], der auf der Addition von elastischen und viskosen Deformationsanteilen (siehe: [[Deformation]]) beruht (Gl. 3).

	[[Datei:Maxwell-Modell2.png\|300px]]		[[Datei:Maxwell-Modell2.png\|300px]]
Zeile 74:		Zeile 74:
	\|}		\|}

	Der Quotient η/E entspricht der Zeitkonstante bzw. Relaxationszeit τ<sub>rel</sub>, die angibt nach welcher Zeit die Spannung σ auf den e-ten Teil der Ausgangspannung σ<sub>0</sub> abgefallen ist. Mit einer Relaxationszeit ist das Maxwell-Modell nur unzureichend in der Lage, das komplexe [[~~Relaxation Kunststoffe~~\|Relaxationsverhalten realer Kunststoffe]] zu beschreiben. Eine Verbesserung der Übereinstimmung zwischen Modell und Experiment wird durch Einführung eines diskreten Relaxationszeitspektrums erreicht. Dies kann im Analogiemodell durch eine Parallelschaltung mehrerer MAXWELL-Elemente erreicht werden.		Der Quotient η/E entspricht der Zeitkonstante bzw. Relaxationszeit τ<sub>rel</sub>, die angibt nach welcher Zeit die Spannung σ auf den e-ten Teil der Ausgangspannung σ<sub>0</sub> abgefallen ist. Mit einer Relaxationszeit ist das Maxwell-Modell nur unzureichend in der Lage, das komplexe [[Relaxationsverhalten Ermittlung\|Relaxationsverhalten]] realer Kunststoffe zu beschreiben. Eine Verbesserung der Übereinstimmung zwischen Modell und Experiment wird durch Einführung eines diskreten Relaxationszeitspektrums erreicht. Dies kann im Analogiemodell durch eine Parallelschaltung mehrerer MAXWELL-Elemente erreicht werden.

	[[Datei:Maxwell-Modell3.png\|300px]]		[[Datei:Maxwell-Modell3.png\|300px]]
Zeile 88:		Zeile 88:
	\|-valign="top"		\|-valign="top"
	\|[1]		\|[1]
	\|Lüpke, T.: Grundlagen mechanischen Verhaltens. In: Grellmann, W., [[Seidler,_Sabine\|Seidler, S.]] (Hrsg.): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (2015) 3. Auflage S. 91/92, (ISBN 978-3-446-44350-1; siehe [[AMK-Büchersammlung]] unter A 18)		\|Lüpke, T.: Grundlagen mechanischen Verhaltens. In: [[Grellmann,_Wolfgang\|Grellmann, W.]], [[Seidler,_Sabine\|Seidler, S.]] (Hrsg.): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (2015) 3. Auflage S. 91/92, (ISBN 978-3-446-44350-1; siehe [[AMK-Büchersammlung]] unter A 18)
	\|-valign="top"		\|-valign="top"
	\|[2]		\|[2]
	\|Bierögel, C.: Biegeversuch an Kunststoffen. In: Grellmann, W., Seidler, S. (Hrsg.): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (2015) 3. Auflage, S. 147–158 (ISBN 978-3-446-44350-1; siehe [[AMK-Büchersammlung]] unter A 18)		\|[[Bierögel, Christian\|Bierögel, C.]]: Biegeversuch an Kunststoffen. In: Grellmann, W., Seidler, S. (Hrsg.): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (2015) 3. Auflage, S. 147–158 (ISBN 978-3-446-44350-1; siehe [[AMK-Büchersammlung]] unter A 18)
	\|}		\|}

	[[Kategorie:Deformation]]		[[Kategorie:Deformation]]

Oluschinski: Die Seite wurde neu angelegt: „{{PSM_Infobox}} MAXWELL-Modell ==Mechanische Analogiemodelle== Das linear-viskoelastisches Verhalten …“

2017-08-14T12:48:13Z

Die Seite wurde neu angelegt: „{{PSM_Infobox}} MAXWELL-Modell ==Mechanische Analogiemodelle== Das linear-viskoelastisches Verhalten …“

Neue Seite

{{PSM_Infobox}}
MAXWELL-Modell

==Mechanische Analogiemodelle==

Das [[linear-viskoelastisches Verhalten]] von [[Kunststoffe]]n ist näherungsweise im Modell durch die mathematische Kombination von linear-elastischen und linear-viskosen Prozessen darstellbar (siehe auch: [[Deformation]]). In der Mechanik verwendet man zur besseren Beschreibung mechanische oder elektrische Analogiemodelle. Dabei wird für das [[Deformation#Elastische Deformation|elastische]] Verhalten eine Feder und für das [[Viskose Deformation|viskose]] Verhalten ein Dämpfer verwendet ('''Bild 1'''). 
Dabei ist die [[viskoelastisches Werkstoffverhalten|lineare Viskoelastizität]] exakt nur für den Bereich infinitesimal kleiner [[Beanspruchung]]en definiert. Die Werkstoffeigenschaften sind also nur von der Zeit, nicht jedoch von der Höhe der mechanischen Belastung abhängig.

==Feder- und Dämpfermodell der linearen Viskosität==

Der elastische Anteil (HOOKE’sche Feder: '''Bild 1a''') bewirkt eine spontane, begrenzte, reversible Verformung (siehe auch: [[HOOKE´sche_Gesetz|HOOKE´sches Gesetz]]), während der viskose Anteil (Newton’scher Dämpfer: '''Bild 1b''') grundsätzlich eine zeitabhängige, unbegrenzte, irreversible [[Deformation]] hervorruft. Der viskose und elastische Anteil ist bei verschiedenen viskoelastischen Kunststoffen jeweils unterschiedlich stark ausgeprägt und die Art des Zusammenwirkens beider Anteile differiert. Das [[linear-viskoelastisches Verhalten|viskoelastisches Verhalten]] kann also durch die Kombination zweier oder mehrerer dieser Elemente modelliert werden [1].

[[Datei:Maxwell-Modell1.png|450px]]
{|
|- valign="top"
|width="50px"|'''Bild 1''':
|width="600px"|Federmodell (a) und Dämpfermodell (b) der linearen Viskoelastizität
|}

Bei Belastung der Feder entsteht spontan eine Verlängerung, die sich bei Entlastung verzögerungsfrei auf die Ausgangslänge zurückstellt. Bei linearem energieelastischem Verhalten zwischen Federkraft und Verlängerung bzw. Spannung und Dehnung ist eine vollständige Beschreibung durch das [[HOOKE´sche_Gesetz|HOOKE’sche Gesetz]] (Gl.1) möglich.

{|
|-
|width="20px"|
|width="500px"|<math>\sigma = E \cdot \epsilon</math>
|(1)
|}

Der Dämpfer für NEWTON’sche Flüssigkeiten beschreibt das rein [[Viskose Deformation|viskose]] Verhalten, welches wesentlich von der [[Viskosität]] η abhängig ist (Gl. 2). Die entstehende Spannung am Dämpfer wird bei konstanter Viskosität nur von der Deformationsgeschwindigkeit bzw. der [[Dehnrate Grundlagen|Dehnrate]] dε/dt bestimmt.

{|
|-
|width="20px"|
|width="500px"|<math>\sigma = \eta \cdot \frac{d\epsilon}{dt}</math>
|(2)
|}

==Das MAXWELL-Modell==

Die Reihenschaltung der beiden Elemente (Feder und Dämpfer) ergibt das MAXWELL-Modell ('''Bild 2'''). Bei einer Belastung verformt sich die Feder unverzüglich, danach beginnt die zeitabhängige und unbegrenzte viskose Verformung, die von der Viskosität abhängig ist. Nach Entlastung bewegt sich nur die Feder zurück und der viskose Anteil bleibt bestehen. Es liegt demzufolge eine zeitabhängige, unbegrenzte, irreversible Verformung wie bei einer Flüssigkeit vor, allerdings gibt es auch einen zeitunabhängigen und reversiblen spontanelastischen Anteil wie bei einem Festkörper. Das MAXWELL-Modell stellt den einfachsten Modellansatz zur Beschreibung des [[Relaxation Kunststoffe|Relaxationsverhalten von Kunststoffen]] dar [2], der auf der Addition von elastischen und viskosen Deformationsanteilen ([[Dehnrate Applikationen|Dehnraten]]) beruht (Gl. 3).

[[Datei:Maxwell-Modell2.png|300px]]
{|
|- valign="top"
|width="50px"|'''Bild 2''':
|width="600px"|Deformationsverhalten des MAXWELL-Modells (Relaxationsverhalten)
|}

{|
|-
|width="20px"|
|width="500px"|<math>\frac{d\epsilon}{dt}= \frac{d\epsilon_{1}}{dt} + \frac{d\epsilon_{2}}{dt}</math>
|(3)
|}

Setzt man die zeitliche Ableitung von Gl. (1) sowie Gl. (2) in die Gl. (3) ein, dann erhält man die mathematische Beschreibung für den MAXWELL-Körper (Gl. 4).

{|
|-
|width="20px"|
|width="500px"|<math>\sigma = \eta \cdot \frac{d\epsilon}{dt} + \frac{\eta }{E}\cdot \frac{d\sigma}{dt}</math>
|(4)
|}

==Beschreibung des Relaxationsverhalten von Kunststoffen==

Für die Relaxation gilt ε = ε0 = konst., so dass dε/dt = 0 wird und die Spannung σ nur von der Zeit abhängt. Durch Integration folgt dann die Gl. (5), die eine einfache Beschreibung des [[Relaxation Kunststoffe|Relaxationsverhaltens]] von [[Kunststoffe]]n erlaubt ('''Bild 3''').

{|
|-
|width="20px"|
|width="500px"|<math>\sigma \left ( t \right )= \sigma_{0} \cdot e^{-\frac{t}{\tau_{rel}}}</math>
|(5)
|}

Der Quotient η/E entspricht der Zeitkonstante bzw. Relaxationszeit τrel, die angibt nach welcher Zeit die Spannung σ auf den e-ten Teil der Ausgangspannung σ0 abgefallen ist. Mit einer Relaxationszeit ist das Maxwell-Modell nur unzureichend in der Lage, das komplexe [[Relaxation Kunststoffe|Relaxationsverhalten realer Kunststoffe]] zu beschreiben. Eine Verbesserung der Übereinstimmung zwischen Modell und Experiment wird durch Einführung eines diskreten Relaxationszeitspektrums erreicht. Dies kann im Analogiemodell durch eine Parallelschaltung mehrerer MAXWELL-Elemente erreicht werden.

[[Datei:Maxwell-Modell3.png|300px]]
{|
|- valign="top"
|width="50px"|'''Bild 3''':
|width="600px"|Zeitverhalten des MAXWELL-Modells (Relaxationsverhalten)
|}

'''Literaturhinweise'''
{|
|-valign="top"
|[1]
|Lüpke, T.: Grundlagen mechanischen Verhaltens. In: Grellmann, W., [[Seidler,_Sabine|Seidler, S.]] (Hrsg.): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (2015) 3. Auflage S. 91/92, (ISBN 978-3-446-44350-1; siehe [[AMK-Büchersammlung]] unter A 18)
|-valign="top"
|[2]
|Bierögel, C.: Biegeversuch an Kunststoffen. In: Grellmann, W., Seidler, S. (Hrsg.): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (2015) 3. Auflage, S. 147–158 (ISBN 978-3-446-44350-1; siehe [[AMK-Büchersammlung]] unter A 18)
|}

[[Kategorie:Deformation]]