Gummielastizität

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Gummielastizität

Entropieelastizität, Kautschukelastizität

Begriffsbestimmung

Mit dem Begriff der Gummielastizität oder dem in der Physik verwendeten Begriff Kautschukelastizität bzw. thermodynamisch korrekter der Entropieelastizität wird der Widerstand kautschukähnlicher Materialien (Elastomere) gegenüber einer Deformation bezeichnet [1, 2].

Beschreibung der Deformation

Werden gummielastische Materialien deformiert und orientiert, so werden Kettensegmente aus ihrer Gleichgewichtslage in einen entropisch ungünstigeren Zustand gebracht, d. h. unter Belastung erfolgt der Übergang in eine geordnetere Struktur. Wegen der schwachen Vernetzung können Kettensegmente nicht vollständig aneinander abgleiten, die entropieelastischen Körper sind deshalb um sehr große Beträge (einige 100 %) reversibel deformierbar.

Bei Entlastung gehen die Kettensegmente aus einer geordneten in eine ungeordnete Lage zurück, d. h. die Entropie nimmt wieder zu. Thermodynamisch ist die Gummielastizität mit einer Entropieerniedrigung im deformierten Zustand verbunden.

Aus molekularer Sicht wird durch die Deformation eine Orientierung in Molekülteilen, d. h. eine Konformationsänderung, erzwungen. Auch unvernetzte Makromoleküle zeigen bei bestimmten Beanspruchungen entropieelastisches Verhalten. Dabei wirken die Verhakungen und Verschlaufungen bei einer schnellen Deformation wie Vernetzungen, dem entropieelastischen Verhalten ist bei diesen Werkstoffen aber ein mehr oder weniger starkes Fließen überlagert.

Die Thermodynamik der Gummielastizität

Von entscheidender Bedeutung ist die Temperaturabhängigkeit der Materialgruppe der Elastomere. Die Glastemperatur T_G der Elastomere liegt weit unterhalb üblicher Einsatztemperaturen, d. h. im Bereich der Einsatztemperatur ist die Kettenbeweglichkeit so groß, dass sich die Spannung bei Verformung praktisch verzögerungsfrei einstellt.
Thermodynamisch gesehen beruht die Gummielastizität im Wesentlichem auf einer Abnahme der Entropie S in der allgemeinen Gleichung für die Änderung der Freien Energie F = U – T ∙ S bei gegebener Dehnung.
Die Freie Energie F im Zugversuch kann mit der Gl. (1)

$dF=-S\cdot dT-p\cdot dV+f\cdot dl$

(1)

mit

F – Freie Energie	T – Temperatur
S – Entropie	V – Volumen
p – Druck	dl – Längenänderung
f – Zugkraft

berechnet werden.

Die gemessene Kraft ist

$f=\left({\frac {dF}{dl}}\right)_{T,V}$

(2)

Da im Falle eines reversiblen isothermen Prozesses die Änderung der Energie gleich der mechanischen Arbeit dW/dl, aufgebracht durch äußere Kräfte, ist, gilt Gl. (3)

${\frac {dW}{dl}}={\frac {dF}{dl}}=-T\cdot {\frac {dS}{dl}}$

(3)

Eine statistische Betrachtung des Zusammenhangs führt letztendlich zu dem Ergebnis, dass für die mechanische Arbeit W im Falle eines Netzwerkes mit N Ketten je Einheitsvolumen die Gl. (4) gilt [3‒6]:

$W=-T\cdot dS={\frac {1}{2}}N\cdot k\cdot T\cdot \left(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}-3\right)$

(4)

mit

W – mechanische Arbeit

k – Boltzmannkonstante k = 1,38∙1023 JK-1

λ – Deformation (Dehnungsverhältnis)

Die Größe NkT wird als Schubmodul G definiert. Unter Einbeziehung der Molmasse M_c zwischen den Vernetzungspunkten ergibt sich mit R = k ∙ N_L und N = ρ / M_c ∙ N_L die Berechnungsgleichung (5) für den Schubmodul G:

$G=N\cdot k\cdot T={\frac {\rho \cdot R\cdot T}{M_{c}}}$

(5)

mit

R – Gaskonstante

NL – Loschmidt-Zahl

ρ – Dichte des Werkstoffes

Der unaxiale Zugversuch

Im Falle einer uniaxialen Zugbeanspruchung wird eine Deformation $\lambda _{1}=\lambda \!$ aufgebracht, die lateralen Deformationen sind dann zu $\lambda _{2}=\lambda _{3}=\lambda ^{-{\frac {1}{2}}}\!$ (bei Volumenkonstanz, d. h. $\lambda _{1}\cdot \lambda _{2}\cdot \lambda _{3}=1$). Dann gilt für die auf einen Probekörper aufgebrachte Spannung die folgende Gl. (6)

$\sigma ={\frac {dW}{d\lambda }}=-T\cdot {\frac {dS}{d\lambda }}=G\ \left(\lambda -{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)$

(6)

wobei die Übereinstimmung mit Experimenten in vielen Fällen recht gut ist. Bei höheren Verformungsgraden λ > 1,5 beschreibt die empirische MOONEY-RIVLIN-Gleichung (7) das Verhalten von Elastomeren präziser. Es gilt dann

$\sigma =C_{1}\cdot \left(\lambda ^{2}-{\frac {1}{\lambda }}\right)+C_{2}\cdot \left(\lambda -{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)$

(7)

mit C₁ und C₂ Elastizitätskonstanten.

Aus Gl. (5) lässt sich schlussfolgern, dass der Schubmodul mit der Zahl der Vernetzungen bzw. der Vernetzungsdichte steigt.

Literaturhinweise

[1]	Guth, E., Mark, H.: Zur statistischen Theorie der Kautschukelastizität. Zeitschrift Elektrochemie 43 (1937) 683−686
[2]	Schmiedel, H. (Hrsg.): Handbuch der Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München Wien (1992) S. 58‒59 (ISBN 3-446-16336-0; siehe AMK-Büchersammlung unter A 3)
[3]	Kausch, H. H., Stalder, B., Barbezat, M.: Introduction aux matieres plastiques. Lausanne: Ecole Polytechnique Federale de Lausanne (1986)
[4]	Batzer, H. (Hrsg.): Polymere Werkstoffe, Bd. I, Chemie und Physik. Stuttgart, G. Thieme-Verlag (1985) (ISBN 3-13-648101; AMK-Büchersammlung unter G 17)
[5]	Aklonis, J. J., MacKnight, W. J., Shen, M. (Eds.): Introduction to Polymer Viscoelasticity. New York: J Willey & Son. Inc. (1972) http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/pol.1973.130110114/abstract, DOI: 10.1002/pol.1973.130110114 (Zugriff am 29.09.2017)
[6]	Paufler, P., Schulze, G. E. R.: Physikalische Grundlagen mechanischer Festkörpereigenschaften, Bd. 1. Berlin: Akademie-Verlag (1978)