HOOKE´sche Gesetz: Unterschied zwischen den Versionen
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| + | ==Allgemeine Grundlagen== | ||
| + | Das HOOKE'sche Gesetz (nach Robert Hooke (1635–1703)) beschreibt als ein linearer Sonderfall des Elastizitätsgesetzes das elastische Verhalten von Festkörpern genau dann, wenn die elastische [[Deformation]] proportional zur einwirkenden Belastung ist. Dieses auch als linear-elastisches Verhalten bezeichnete Werkstoffverhalten ist für die meisten [[Kunststoffe]] in deren Einsatzbereich im Gegensatz zu metallischen Werkstoffen oft nur bei sehr kleinen Verformungen gültig (im Allgemeinen für Dehnungen bis etwa 0,2 %). Die Deformationsmechanismen sind auf der molekularen Ebene durch Änderungen der Abstände der Atome in der Hauptkette der Makromoleküle sowie dem Bindungswinkel zwischen diesen Atomen begründet. Wie z. B. für [[Thermoplaste|thermoplastische Kunststoffe]] typisch, schließen sich an den linear-elastischen Bereich bei höheren Dehnungen die Bereiche des [[linear-viskoelastisches Verhalten|linear-viskoelastischen]] und des nichtlinear-viskoelastischen Werkstoffverhaltens (siehe: [[Elastizität]]) an. Bei sehr tiefen Temperaturen und für sehr spröde Werkstoffe (wie viele [[Duroplaste|Duromere]]) gilt das HOOKE'sche Gesetz jedoch auch bei etwas größeren Verformungen. Einige [[Polymer]]werkstoffe, wie [[Elastomere]] oberhalb der [[Glastemperatur|Glasübergangstemperatur]], zeigen allerdings ausschließlich nichtlinear-elastisches Verhalten. | ||
| − | + | ==Dreidimensionale Beanspruchung== | |
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Im allgemeinen Fall des anisotropen Festkörpers und einer dreidimensionalen Beanspruchung wird das HOOKE'sche Gesetz durch eine lineare Tensorgleichung vierter Stufe ausgedrückt mit σ<sub>ij</sub> = E<sub>ijkl</sub> ⋅ ε<sub>kl</sub>, wobei σ<sub>ij</sub> und ε<sub>kl</sub> der Spannungs- bzw. Dehnungstensor sowie E<sub>ijkl</sub> der 81-komponentige Elastizitätstensor sind. Aufgrund der Symmetrie von Spannungs- und Dehnungstensor reduziert sich die Zahl der unabhängigen Komponenten E<sub>ijkl</sub> auf 36, so dass nun σ<sub>I</sub> = E<sub>IJ</sub> ⋅ ε<sub>J</sub> gilt mit den jeweils 6-komponentigen Spannungs- und Dehnungsvektoren σ<sub>I</sub> und ε<sub>J</sub> und dem 36-komponentigen Elastizitätstensor E<sub>IJ</sub>. Der Elastizitätstensor E<sub>IJ</sub> ist ebenfalls symmetrisch, so dass sich die Anzahl der unabhängigen elastischen Konstanten weiter auf maximal 21 reduziert. Im Fall des isotropen Festkörpers verbleiben von diesen Konstanten schließlich zwei: der [[Elastizitätsmodul|Elastizitätsmodul E]] und die [[Querkontraktion|Querkontraktionszahl]] (oder Poissonzahl) ν. | Im allgemeinen Fall des anisotropen Festkörpers und einer dreidimensionalen Beanspruchung wird das HOOKE'sche Gesetz durch eine lineare Tensorgleichung vierter Stufe ausgedrückt mit σ<sub>ij</sub> = E<sub>ijkl</sub> ⋅ ε<sub>kl</sub>, wobei σ<sub>ij</sub> und ε<sub>kl</sub> der Spannungs- bzw. Dehnungstensor sowie E<sub>ijkl</sub> der 81-komponentige Elastizitätstensor sind. Aufgrund der Symmetrie von Spannungs- und Dehnungstensor reduziert sich die Zahl der unabhängigen Komponenten E<sub>ijkl</sub> auf 36, so dass nun σ<sub>I</sub> = E<sub>IJ</sub> ⋅ ε<sub>J</sub> gilt mit den jeweils 6-komponentigen Spannungs- und Dehnungsvektoren σ<sub>I</sub> und ε<sub>J</sub> und dem 36-komponentigen Elastizitätstensor E<sub>IJ</sub>. Der Elastizitätstensor E<sub>IJ</sub> ist ebenfalls symmetrisch, so dass sich die Anzahl der unabhängigen elastischen Konstanten weiter auf maximal 21 reduziert. Im Fall des isotropen Festkörpers verbleiben von diesen Konstanten schließlich zwei: der [[Elastizitätsmodul|Elastizitätsmodul E]] und die [[Querkontraktion|Querkontraktionszahl]] (oder Poissonzahl) ν. | ||
| + | ==Anwendung des HOOKE'schen Gesetzes== | ||
Im Rahmen der [[Kunststoffprüfung]] spielt die Anwendung des HOOKE'schen Gesetz zur Ermittlung der elastischen Eigenschaften unter [[einachsiger Spannungszustand|einachsiger]] Beanspruchung im [[Zugversuch|Zug-]] und [[Druckversuch]] (z. B. nach DIN EN ISO 527 und DIN EN ISO 604) eine Rolle bei der Bestimmung des [[Elastizitätsmodul|Elastizitätsmoduls E<sub>t</sub>]] (Zug) oder E<sub>c</sub> (Druck) im Sekantenverfahren nach E<sub>t</sub>, E<sub>c</sub> = Δσ/Δε mit Δε − Differenz der Dehnungen oder Stauchungen und Δσ − Differenz der zugehörigen Zug- oder Druckspannungen. Genau genommen wird, da dabei Dehnungen bzw. Stauchungen zwischen 0,05 % und 0,25 % einbezogen werden, nicht nur der linear-elastische Bereich sondern auch ein Teil des [[linear-viskoelastisches Verhalten|linear-viskoelastischen]] Bereichs erfasst. | Im Rahmen der [[Kunststoffprüfung]] spielt die Anwendung des HOOKE'schen Gesetz zur Ermittlung der elastischen Eigenschaften unter [[einachsiger Spannungszustand|einachsiger]] Beanspruchung im [[Zugversuch|Zug-]] und [[Druckversuch]] (z. B. nach DIN EN ISO 527 und DIN EN ISO 604) eine Rolle bei der Bestimmung des [[Elastizitätsmodul|Elastizitätsmoduls E<sub>t</sub>]] (Zug) oder E<sub>c</sub> (Druck) im Sekantenverfahren nach E<sub>t</sub>, E<sub>c</sub> = Δσ/Δε mit Δε − Differenz der Dehnungen oder Stauchungen und Δσ − Differenz der zugehörigen Zug- oder Druckspannungen. Genau genommen wird, da dabei Dehnungen bzw. Stauchungen zwischen 0,05 % und 0,25 % einbezogen werden, nicht nur der linear-elastische Bereich sondern auch ein Teil des [[linear-viskoelastisches Verhalten|linear-viskoelastischen]] Bereichs erfasst. | ||
Eine weitere wichtige, prinzipielle Anwendung des HOOKE'schen Gesetzes über dessen ursprünglichen Gültigkeitsbereiches zur Beschreibung des linear-elastischen Verhaltens hinaus wird für polymere Werkstoffe durch die formale Einbeziehung der Zeitabhängigkeit der Spannungen und Dehnungen ermöglicht: σ(t) = E<sup>*</sup> ⋅ ε(t). Durch diese einfache Erweiterung des HOOKE'schen Gesetzes wird die Basis zur Beschreibung des [[linear-viskoelastisches Verhalten|linear-viskoelastischen Werkstoffverhaltens]] mittels des komplexen Elastizitätsmoduls E<sup>*</sup> (bzw. dessen Realteils E<sup>′</sup> − Speichermodul und Imaginärteils E<sup>′′</sup>− Verlustmodul) geschaffen, was beispielsweise bei der [[Elastizitätsmodul#Dynamisch-Mechanische_Analyse_.28DMA.29|Dynamisch-Mechanischen Analyse (DMA)]] experimentell ausgenutzt wird. | Eine weitere wichtige, prinzipielle Anwendung des HOOKE'schen Gesetzes über dessen ursprünglichen Gültigkeitsbereiches zur Beschreibung des linear-elastischen Verhaltens hinaus wird für polymere Werkstoffe durch die formale Einbeziehung der Zeitabhängigkeit der Spannungen und Dehnungen ermöglicht: σ(t) = E<sup>*</sup> ⋅ ε(t). Durch diese einfache Erweiterung des HOOKE'schen Gesetzes wird die Basis zur Beschreibung des [[linear-viskoelastisches Verhalten|linear-viskoelastischen Werkstoffverhaltens]] mittels des komplexen Elastizitätsmoduls E<sup>*</sup> (bzw. dessen Realteils E<sup>′</sup> − Speichermodul und Imaginärteils E<sup>′′</sup>− Verlustmodul) geschaffen, was beispielsweise bei der [[Elastizitätsmodul#Dynamisch-Mechanische_Analyse_.28DMA.29|Dynamisch-Mechanischen Analyse (DMA)]] experimentell ausgenutzt wird. | ||
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| + | ==Siehe auch== | ||
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| + | *[[Deformation]] | ||
| + | *[[Elastizität]] | ||
| + | *[[Elastizitätsmodul]] | ||
| + | *[[Linear-viskoelastisches Verhalten]] | ||
| + | *[[Viskoelastisches Werkstoffverhalten]] | ||
'''Literaturhinweise''' | '''Literaturhinweise''' | ||
* Gross, D., Hauger, W., Schröder, J., Wall, W. A.: Technische Mechanik 2 – Elastostatik. 12., aktualisierte Aufl., Springer Verlag, Berlin Heidelberg (2014) (ISBN 978-3-642-40966-0) | * Gross, D., Hauger, W., Schröder, J., Wall, W. A.: Technische Mechanik 2 – Elastostatik. 12., aktualisierte Aufl., Springer Verlag, Berlin Heidelberg (2014) (ISBN 978-3-642-40966-0) | ||
| − | * DIN EN ISO 527-1 ( | + | * DIN EN ISO 527-1 (2019-12): Kunststoffe – Bestimmung der Zugeigenschaften – Teil 1: Allgemeine Grundsätze |
* DIN EN ISO 604 (2003-12): Kunststoffe – Bestimmung von Druckeigenschaften | * DIN EN ISO 604 (2003-12): Kunststoffe – Bestimmung von Druckeigenschaften | ||
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| + | * Wikipedia – Die freie Enzyklopädie: [https://de.wikipedia.org/wiki/Robert_Hooke Robert Hooke] | ||
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HOOKE'sche Gesetz
Allgemeine Grundlagen
Das HOOKE'sche Gesetz (nach Robert Hooke (1635–1703)) beschreibt als ein linearer Sonderfall des Elastizitätsgesetzes das elastische Verhalten von Festkörpern genau dann, wenn die elastische Deformation proportional zur einwirkenden Belastung ist. Dieses auch als linear-elastisches Verhalten bezeichnete Werkstoffverhalten ist für die meisten Kunststoffe in deren Einsatzbereich im Gegensatz zu metallischen Werkstoffen oft nur bei sehr kleinen Verformungen gültig (im Allgemeinen für Dehnungen bis etwa 0,2 %). Die Deformationsmechanismen sind auf der molekularen Ebene durch Änderungen der Abstände der Atome in der Hauptkette der Makromoleküle sowie dem Bindungswinkel zwischen diesen Atomen begründet. Wie z. B. für thermoplastische Kunststoffe typisch, schließen sich an den linear-elastischen Bereich bei höheren Dehnungen die Bereiche des linear-viskoelastischen und des nichtlinear-viskoelastischen Werkstoffverhaltens (siehe: Elastizität) an. Bei sehr tiefen Temperaturen und für sehr spröde Werkstoffe (wie viele Duromere) gilt das HOOKE'sche Gesetz jedoch auch bei etwas größeren Verformungen. Einige Polymerwerkstoffe, wie Elastomere oberhalb der Glasübergangstemperatur, zeigen allerdings ausschließlich nichtlinear-elastisches Verhalten.
Dreidimensionale Beanspruchung
Im allgemeinen Fall des anisotropen Festkörpers und einer dreidimensionalen Beanspruchung wird das HOOKE'sche Gesetz durch eine lineare Tensorgleichung vierter Stufe ausgedrückt mit σij = Eijkl ⋅ εkl, wobei σij und εkl der Spannungs- bzw. Dehnungstensor sowie Eijkl der 81-komponentige Elastizitätstensor sind. Aufgrund der Symmetrie von Spannungs- und Dehnungstensor reduziert sich die Zahl der unabhängigen Komponenten Eijkl auf 36, so dass nun σI = EIJ ⋅ εJ gilt mit den jeweils 6-komponentigen Spannungs- und Dehnungsvektoren σI und εJ und dem 36-komponentigen Elastizitätstensor EIJ. Der Elastizitätstensor EIJ ist ebenfalls symmetrisch, so dass sich die Anzahl der unabhängigen elastischen Konstanten weiter auf maximal 21 reduziert. Im Fall des isotropen Festkörpers verbleiben von diesen Konstanten schließlich zwei: der Elastizitätsmodul E und die Querkontraktionszahl (oder Poissonzahl) ν.
Anwendung des HOOKE'schen Gesetzes
Im Rahmen der Kunststoffprüfung spielt die Anwendung des HOOKE'schen Gesetz zur Ermittlung der elastischen Eigenschaften unter einachsiger Beanspruchung im Zug- und Druckversuch (z. B. nach DIN EN ISO 527 und DIN EN ISO 604) eine Rolle bei der Bestimmung des Elastizitätsmoduls Et (Zug) oder Ec (Druck) im Sekantenverfahren nach Et, Ec = Δσ/Δε mit Δε − Differenz der Dehnungen oder Stauchungen und Δσ − Differenz der zugehörigen Zug- oder Druckspannungen. Genau genommen wird, da dabei Dehnungen bzw. Stauchungen zwischen 0,05 % und 0,25 % einbezogen werden, nicht nur der linear-elastische Bereich sondern auch ein Teil des linear-viskoelastischen Bereichs erfasst.
Eine weitere wichtige, prinzipielle Anwendung des HOOKE'schen Gesetzes über dessen ursprünglichen Gültigkeitsbereiches zur Beschreibung des linear-elastischen Verhaltens hinaus wird für polymere Werkstoffe durch die formale Einbeziehung der Zeitabhängigkeit der Spannungen und Dehnungen ermöglicht: σ(t) = E* ⋅ ε(t). Durch diese einfache Erweiterung des HOOKE'schen Gesetzes wird die Basis zur Beschreibung des linear-viskoelastischen Werkstoffverhaltens mittels des komplexen Elastizitätsmoduls E* (bzw. dessen Realteils E′ − Speichermodul und Imaginärteils E′′− Verlustmodul) geschaffen, was beispielsweise bei der Dynamisch-Mechanischen Analyse (DMA) experimentell ausgenutzt wird.
Siehe auch
- Deformation
- Elastizität
- Elastizitätsmodul
- Linear-viskoelastisches Verhalten
- Viskoelastisches Werkstoffverhalten
Literaturhinweise
- Gross, D., Hauger, W., Schröder, J., Wall, W. A.: Technische Mechanik 2 – Elastostatik. 12., aktualisierte Aufl., Springer Verlag, Berlin Heidelberg (2014) (ISBN 978-3-642-40966-0)
- DIN EN ISO 527-1 (2019-12): Kunststoffe – Bestimmung der Zugeigenschaften – Teil 1: Allgemeine Grundsätze
- DIN EN ISO 604 (2003-12): Kunststoffe – Bestimmung von Druckeigenschaften
Weblink
- Wikipedia – Die freie Enzyklopädie: Robert Hooke