Rissmodell nach GRIFFITH

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Rissmodell nach GRIFFITH

Grundlagen des Modells

Das Grundkonzept der Bruchmechanik geht von der Analyse des mechanischen Verhaltens eines Einzelrisses in einem linear elastischen, homogenen und isotropen Kontinuum aus. Zur Beurteilung der Stabilität eines Körpers mit einem derartigen makroskopischen Riss ist ein kontinuumsmechanisches Rissmodell erforderlich, dass die realen Prozesse in mikroskopischen Bereichen weitgehend unberücksichtigt lässt [1‒3].

Das bekannteste Rissmodell wurde von Griffith in die Literatur eingeführt [4]. Dieses Rissmodell bildet die Grundlage für die Beschreibung des linear-elastischen Werkstoffverhaltens auf der Basis einer Energiebilanz der instabilen Rissausbreitung.

Das von Griffith entwickelte Rissmodell geht von einem langen und schmalen Riss der Länge 2a in einer unter Zugspannung stehenden Scheibe unendlicher Ausdehnung aus. Die räumliche Ausdehnung dieses Rissmodells führt zum sogenannten „pfennigförmigen Riss“.

Bild:

Rissmodell nach GRIFFITH [3]

Ableitung der SNEDDON-WILLIAMS-Gleichungen

Bei der Ableitung der grundlegenden Beziehungen der Bruchmechanik kann auch von der mit Hilfe komplexer analytischer Funktionen durchgeführten Berechnung der zweidimensionalen Spannungsverteilung im Bereich eines Risses ausgegangen werden [6]. Von Sneddon [7] wurden die nachfolgend aufgeführten Gleichungen für die Größe der Spannungskomponenten in unmittelbarer Nähe der Rissspitze angegeben [5].

Unter der Voraussetzung eines scharfen Risses (Kerbradius r = 0) erhält man für die Spannungen in der x-y-Ebene:

$\sigma _{x}={\frac {\sigma (\pi a)^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {2\pi r}}}cos{\frac {\Theta }{2}}(1-sin{\frac {\Theta }{2}}sin{\frac {3}{2}}\Theta )$

$\sigma _{y}={\frac {\sigma (\pi a)^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {2\pi r}}}cos{\frac {\Theta }{2}}(1+sin{\frac {\Theta }{2}}sin{\frac {3}{2}}\Theta )$

$\tau _{xy}={\frac {\sigma (\pi a)^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {2\pi r}}}sin{\frac {\Theta }{2}}cos{\frac {\Theta }{2}}sin{\frac {3}{2}}\Theta$

die SNEDDON-WILLIAMS-Gleichungen oder WILLIAMS-IRWIN-Gleichungen.

Diese Gleichungen haben keine Gültigkeit für r = 0, da sie dann zu dem physikalisch unsinnigen Ergebnis einer unendlich hohen Spannung führen würden:

$fuer\ r\rightarrow 0\ \ {\frac {1}{0}}\ \ \sigma \rightarrow \infty$

In Abhängigkeit von der Prüfkörperdicke B bilden sich vor der Rissspitze unterschiedliche mehrachsige Spannungszustände aus.

Ebener Dehnungszustand (EDZ) und Ebener Spannungszustand (ESZ)

Die zwei Grenzfälle der Elastizitätstheorie sind:

• Große Prüfkörperdicken → Ebener Dehnungszustand (EDZ) (EDZ auch EVZ) σ_z ungleich 0, d. h. in z-Richtung treten keine Querdehnungen auf
• Kleine Prüfkörperdicken → Ebener Spannungszustand (ESZ) ist durch die Bedingung σ_z = 0 charakterisiert

(mit steigender Prüfkörperdicke wächst die Verformungsbehinderung !)

Für den Fall des EDZ ist also σ_z ungleich 0 und es tritt infolge der Verformungsbehinderung in z-Richtung, also parallel zur Rissfront noch die Normalspannungskomponente σ_z auf

$\sigma _{z}=\upsilon (\sigma _{x}+\sigma _{y})\!$

mit υ – Poissonkonstante.

Bedeutung

Die besondere Bedeutung der SNEDDON-WILLIAMS-Gleichungen liegt in der Proportionalität zu dem sogenannten Spannungsfaktor oder auch Spannungsintensitätsfaktor.

Irwin [8] führte 1952 den Spannungsintensitätsfaktor

$K_{I}=\sigma (\pi a)^{\frac {1}{2}}$

ein, der eine von den Ortskoordinaten (r, Θ) unabhängige Größe darstellt und die Intensität des Spannungsfeldes vor der Rissspitze beschreibt und sich somit für die Beschreibung der Beanspruchung des Materials verwenden lässt. Physikalisch ist der Spannungsintensitätsfaktor als Intensität des Spannungsanstieges im linear-elastischen Spannungsfeld zu interpretieren.

Damit lauten die SNEDDON-WILLIAMS-Gleichungen:

${\begin{bmatrix}\sigma _{x}\\\sigma _{y}\\\tau _{xy}\end{bmatrix}}={\frac {K_{I}}{\sqrt {2\pi r}}}cos{\frac {\Theta }{2}}{\begin{bmatrix}1-sin{\frac {\Theta }{2}}sin{\frac {3}{2}}\Theta \\1+sin{\frac {\Theta }{2}}sin{\frac {3}{2}}\Theta \\sin{\frac {\Theta }{2}}sin{\frac {3}{2}}\Theta \end{bmatrix}}$

Die Tatsache, dass jedes Bauteil und jeder Prüfkörper eine endliche Geometrie hat, wird durch die Einführung einer Geometriefunktion f(a/W) berücksichtigt. Die Gleichung von Irwin erhält damit die Gestalt:

$K_{I}=\sigma (\pi a)^{\frac {1}{2}}f(a|W)$

Die Geometriefunktion f(a/W) ist für sehr kleine Risslängen und unendlich ausgedehnte Prüfkörper etwa 1.

Literaturhinweise

[1]	Blumenauer, H., Pusch, G.: Technische Bruchmechanik. Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig Stuttgart (1982) S. 20 (siehe AMK-Büchersammlung unter E 29-1)
[2]	Blumenauer, H., Pusch, G.: Technische Bruchmechanik. Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig (1987) 2. Auflage S. 20 (ISBN 3-342-00096-1; siehe AMK-Büchersammlung unter E 29-2)
[3]	Blumenauer, H., Pusch, G.: Technische Bruchmechanik. Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig Stuttgart (1993) 3. Auflage, S. 17 (ISBN 3-342-00659-5; siehe AMK-Büchersammlung unter E 29-3)
[4]	Griffith, A. A.: The Phenomena of Rupture and Flow in Solids. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character, Vol. 221 (1921) 163 – 198. JSTOR (letzter Zugriff 1. März 2024) DOI: https://www.jstor.org/stable/91192
[5]	Blumenauer, H., Pusch, G.: Bruchmechanik – Grundlagen, Prüfmethoden, Anwendungsgebiete. Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig (1973) S. 41 (siehe AMK-Büchersammlung unter E 28)
[6]	Westergaard, H. M.: Bearing Pressures and Cracks. J. Appl. Mech. 6 (1939) Nr. 2, 49–53 Download als pdf
[7]	Sneddon, J. N.: The Distribution of Stress in the Neighbourhood of a Crack in an Elastic Solid. Proc. Roy. Soc. London A 187 (1946) 229
[8]	Irwin, G. R.: Fracture. In: Handbuch der Physik, Bd. VI, Flügge, S. (Hrsg.), Springer Verlag, Berlin (1958) S. 551–590 (ISBN 978-3-662-43081-6, E-Book ISBN 978-3-662-43081-1)