Energieelastizität

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Energieelastizität

Strukturelle Ursachen der Energieelastizität

Strukturelle Ursache des energieelastischen Verhaltens ist die Veränderung der mittleren Atomabstände und Bindungswinkel bei Einwirkung mechanischer Beanspruchungen. Die dabei zu leistende mechanische Arbeit wird in Form potentieller Energie gespeichert (Zunahme der inneren Energie) und bei Wegnahme der Beanspruchung vollständig und unverzüglich zurück gewonnen (1. Hauptsatz der Thermodynamik) [1]. Auf Grund seiner strukturellen Ursachen ist das energieelastische Verhalten auf den Bereich kleiner Verformungen beschränkt. Hier wird ein linearer Zusammenhang zwischen Spannung und Deformation beobachtet, der durch das HOOKE´sche Gesetz beschrieben wird.

HOOKE'sche Gesetz für energieelastisches Verhalten

Für den einfachen Fall einer uniaxialen Zugbeanspruchung gilt nach Gl. (1):

$\sigma \,=\,E\cdot \varepsilon$.

(1)

Die Proportionalitätskonstante zwischen Spannung und Dehnung wird als Elastizitätsmodul E bezeichnet. Sie steht mit den Bindungskräften im Werkstoff im Zusammenhang. Alternativ kann auch die Nachgiebigkeit C ermittelt werden (Gl. 2):

$\varepsilon \,=\,C\cdot \sigma$.

(2)

Neben der Längenänderung erfährt ein zugbeanspruchter Prüfkörper gleichzeitig eine Querschnittsverringerung, wenn er sich aufgrund seiner Geometrie im ebenen Spannungszustand befindet. Die Größe dieser Querschnittsänderung wird durch die Querkontraktionszahl (Poissonkonstante) v beschrieben. Sie bringt das Verhältnis der Dehnung in Querrichtung (Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon} _y, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon} _z) und Längsrichtung (Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon} _x) zum Ausdruck. Bei uniaxialer Beanspruchung gilt Gl. (3):

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v\,=\,-\frac{\varepsilon_y}{\varepsilon_x}\,=\,-\frac{\varepsilon_z}{\varepsilon_x}} .

(3)

Bei einer Scherbeanspruchung gilt für das HOOKE´sche Gesetz nachfolgende Gl. (4), wobei G der Schubmodul, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau} die dazugehörige Schubspannung und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma} die Scherung bezeichnen.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau\,=\,G\cdot \gamma}

(4)

Beziehungen zwischen den elastischen Konstanten

Mit der Poissonzahl Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} , die das Verhältnis zwischen Querdehnung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon} _q und der Längsdehnung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon} _l als Absolutwert entsprechend Gl. (5)

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu\,=\,\frac{\varepsilon_q}{\varepsilon_l}}

(5)

angibt, erhält man bei kleinen elastischen Verformungen als Beziehung zwischen Elastizitätsmodul und Gleitmodul

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\,=\,2\cdot \left(1+\mu \right) \cdot G}

(6)

Bei Inkompressibiltät, wie bei Gummi, beträgt der obere Grenzwert von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} = 0,5, wobei aufgrund eintretender Volumeneffekte unter Zugbeanspruchung bei den meisten Kunststoffen eine Poissonzahl um 0,3 registriert wird [2]. Unter der Voraussetzung einer mehrachsigen allseitigen Kompression (hydrostatische Beanspruchung) kann als weitere elastische Konstante der Kompressionsmodul nach der Gl. (7) berechnet werden:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K\,=\,\frac{E}{3\left (1-2\mu\right)}}

(7)

Die hier angegebenen Gleichungen gelten grundsätzlich nur für ideal elastisches Verhalten mit Deformation, die sehr klein gegenüber den geometrischen Abmessungen der verwendeten Prüfkörper sind.

Literaturhinweise

[1]	Lüpke, Th.: Grundlagen mechanischen Verhaltens. In: Grellmann, W., Seidler, S. (Hrsg.): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (2015) 3. Auflage, S. 84/85 (ISBN 978-3-446-44350-1; siehe AMK-Büchersammlung unter A 18)
[2]	Wehrstedt, A.: Neues auf dem Gebiet der Werkstoffprüfung. In: Frenz, H., Wehrstedt, A. (Hrsg.): Kennwertermittlung für die Praxis. Wiley VCH Verlag (2003) S. 1–12, (ISBN 3-527-30674-9; siehe AMK-Büchersammlung unter M 10)