HOOKE´sche Gesetz

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HOOKE'sche Gesetz

Das HOOKE'sche Gesetz (nach Robert Hooke (1635–1703)) beschreibt als ein linearer Sonderfall des Elastizitätsgesetzes das elastische Verhalten von Festkörpern genau dann, wenn die elastische Deformation proportional zur einwirkenden Belastung ist. Dieses auch als linear-elastisches Verhalten bezeichnete Werkstoffverhalten ist für die meisten Kunststoffe in deren Einsatzbereich im Gegensatz zu metallischen Werkstoffen oft nur bei sehr kleinen Verformungen gültig (im Allgemeinen für Dehnungen bis etwa 0,2 %). Die Deformationsmechanismen sind auf der molekularen Ebene durch Änderungen der Abstände der Atome in der Hauptkette der Makromoleküle sowie dem Bindungswinkel zwischen diesen Atomen begründet. Wie z. B. für thermoplastische Kunststoffe typisch, schließen sich an den linear-elastischen Bereich bei höheren Dehnungen die Bereiche des linear-viskoelastischen und des nichtlinear-viskoelastischen Werkstoffverhaltens an. Bei sehr tiefen Temperaturen und für sehr spröde Werkstoffe (wie viele Duromere) gilt das HOOKE'sche Gesetz jedoch auch bei etwas größeren Verformungen. Einige Polymerwerkstoffe, wie Elastomere oberhalb der Glasübergangstemperatur, zeigen allerdings ausschließlich nichtlinear-elastisches Verhalten.

Im allgemeinen Fall des anisotropen Festkörpers und einer dreidimensionalen Beanspruchung wird das HOOKE'sche Gesetz durch eine lineare Tensorgleichung vierter Stufe ausgedrückt mit σ_ij = E_ijkl ⋅ ε_kl, wobei σ_ij und ε_kl der Spannungs- bzw. Dehnungstensor sowie E_ijkl der 81-komponentige Elastizitätstensor sind. Aufgrund der Symmetrie von Spannungs- und Dehnungstensor reduziert sich die Zahl der unabhängigen Komponenten E_ijkl auf 36, so dass nun σ_I = E_IJ ⋅ ε_J gilt mit den jeweils 6-komponentigen Spannungs- und Dehnungsvektoren σ_I und ε_J und dem 36-komponentigen Elastizitätstensor E_IJ. Der Elastizitätstensor E_IJ ist ebenfalls symmetrisch, so dass sich die Anzahl der unabhängigen elastischen Konstanten weiter auf maximal 21 reduziert. Im Fall des isotropen Festkörpers verbleiben von diesen Konstanten schließlich zwei: der Elastizitätsmodul E und die Querkontraktionszahl (oder Poissonzahl) ν.

Im Rahmen der Kunststoffprüfung spielt die Anwendung des HOOKE'schen Gesetz zur Ermittlung der elastischen Eigenschaften unter einachsiger Beanspruchung im Zug- und Druckversuch (z. B. nach DIN EN ISO 527 und DIN EN ISO 604) eine Rolle bei der Bestimmung des Elastizitätsmoduls E_t (Zug) oder E_c (Druck) im Sekantenverfahren nach E_t, E_c = Δσ/Δε mit Δε − Differenz der Dehnungen oder Stauchungen und Δσ − Differenz der zugehörigen Zug- oder Druckspannungen. Genau genommen wird, da dabei Dehnungen bzw. Stauchungen zwischen 0,05 % und 0,25 % einbezogen werden, nicht nur der linear-elastische Bereich sondern auch ein Teil des linear-viskoelastischen Bereichs erfasst.

Eine weitere wichtige, prinzipielle Anwendung des HOOKE'schen Gesetzes über dessen ursprünglichen Gültigkeitsbereiches zur Beschreibung des linear-elastischen Verhaltens hinaus wird für polymere Werkstoffe durch die formale Einbeziehung der Zeitabhängigkeit der Spannungen und Dehnungen ermöglicht: σ(t) = E^* ⋅ ε(t). Durch diese einfache Erweiterung des HOOKE'schen Gesetzes wird die Basis zur Beschreibung des linear-viskoelastischen Werkstoffverhaltens mittels des komplexen Elastizitätsmoduls E^* (bzw. dessen Realteils E^′ − Speichermodul und Imaginärteils E^′′− Verlustmodul) geschaffen, was beispielsweise bei der Dynamisch-Mechanischen Analyse (DMA) experimentell ausgenutzt wird.

Literaturhinweise

• Gross, D., Hauger, W., Schöter, J., Wall, W. A.: Technische Mechanik 2 – Elastostatik. 12., aktualisierte Aufl., Springer Verlag, Berlin Heidelberg (2014)
• DIN EN ISO 527-1 (2012-06): Kunststoffe – Bestimmung der Zugeigenschaften – Teil 1: Allgemeine Grundsätze
• DIN EN ISO 604 (2003-12): Kunststoffe – Bestimmung von Druckeigenschaften