Ebener Spannungszustand

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Ebener Spannungs- und Dehnungszustand

Verallgemeinerndes HOOKE'sches Gesetz

Bei Annahme von isotropen Werkstoffeigenschaften in allen Raum- bzw. Achsenrichtungen ergibt sich das verallgemeinerte HOOKE’sche Gesetz (Gl. (1)) wie folgt:

$\epsilon _{11}={\frac {\sigma _{11}}{E}}-{\frac {\nu }{E}}(\sigma _{22}+\sigma _{33})$ $\epsilon _{22}={\frac {\sigma _{22}}{E}}-{\frac {\nu }{E}}(\sigma _{33}+\sigma _{11})$ $\epsilon _{33}={\frac {\sigma _{33}}{E}}-{\frac {\nu }{E}}(\sigma _{11}+\sigma _{22})$

(1)

Dabei ist zu erkennen, dass die Dehnung in der jeweiligen Achsenrichtung primär durch die Spannung in der gleichen Achse hervorgerufen wird, aber ein zusätzlicher Dehnungsanteil aus den anderen Spannungsrichtungen, abhängig von der Poissonzahl ν und dem E-Modul E, hinzukommt. Bei einer einachsigen Beanspruchung im Zug- oder Druckversuch entsteht neben der Längsdehnung ε_x eine Querdehnung ε_y und ε_z, d. h. in der Breiten- und Dickenrichtung des Prüfkörpers, falls ein ebener Spannungszustand (ESZ) vorliegt. Das ist in der Regel dann erfüllt, wenn ein hinreichend schlanker Prüfkörper verwendet wird, der die Messung der Querdehnung in der Breiten- oder Dickenrichtung erlaubt (Bild 1).

Bild 1:

Deformation des Prüfkörpers unter Belastung im ebenen Spannungszustand

Neben der Normalspannung σ_x (Gl. (2)) entsteht bei der Belastung eine Längsdehnung ε_x oder ε_L (Gl. (3)) sowie eine Querdehnung in der Breiten- und Dickenrichtung (Gl. (4)).

$\sigma _{x}={\frac {F_{x}}{A_{0}}}$

(2)

$\epsilon _{x}=\epsilon _{L}={\frac {L-L_{0}}{L_{0}}}={\frac {\Delta L}{L_{0}}}$

(3)

$\epsilon _{y}=\epsilon _{q}={\frac {B-B_{0}}{B_{0}}}={\frac {\Delta B}{B_{0}}}$

(4)

Bei Isotropie und homogenem Werkstoffzustand ist die Dehnung in Breitenrichtung ε_y und in Dickenrichtung ε_z (Gl. (5)) identisch, wobei für beide Querdehnungen jeweils der Absolutbetrag angegeben wird. Die Spannungen σ_y und σ_z sind im ebenen Spannungszustand gleich Null.

$\epsilon _{z}=\epsilon _{q}={\frac {H_{0}-H}{H_{0}}}={\frac {\Delta H}{H_{0}}}$

(5)

Ermittlung der Poissonzahl

Die Poissonzahl oder auch Querkontraktionszahl berechnet sich dann nach Gl. (6):

$\nu =\nu _{B}=\nu _{H}={\frac {\epsilon _{y}}{\epsilon _{L}}}={\frac {\epsilon _{z}}{\epsilon _{L}}}={\frac {\epsilon _{q}}{\epsilon _{L}}}$

(6)

Verwendet man statt des schlanken Prüfkörpers einen dickeren und/oder breiteren prismatischen Prüfkörper entsprechend Bild 2, dann wird sowohl in Dicken- als auch Breitenrichtung kein messbares Dehnungssignal erhalten, da sich der Prüfkörper jetzt im ebenen Dehnungszustand (EDZ) befindet.

Bild 2:

Deformation des Prüfkörpers unter Belastung im ebenen Dehnungszustand

Die entstehende Längsdehnung ε_x soll identisch sein, weshalb aufgrund des größeren Querschnitts A₀ eine erhöhte Normalspannung σ_x erforderlich ist. Zur Erklärung dieses Sachverhaltes kann man eine identische Geometrie wie in Bild 1 annehmen, wobei allerdings eine mögliche Breitenänderung des Prüfkörpers durch seitliche Widerlager verhindert wird (Bild 3). Könnte man diese Widerlager zusätzlich mit einer Vielzahl von Kraftmessdosen (siehe: Elektro-Mechanischer Kraftaufnehmer und Piezoelektrischer Kraftaufnehmer) ausstatten, dann wären die Kräfte in der Breiten- und Dickenrichtung des Prüfkörpers messtechnisch erfassbar. Bei Belastung würde dann eine identische Längsdehnung ε_x entsprechend Gl. (3) und eine höhere Normalspannung σ_x entstehen. Eine Poissonzahl ν kann in diesem Fall nicht mehr berechnet werden, da die Dehnungen ε_y und ε_z gleich Null sind. Da in diesem simulierten Zustand Kräfte in y- und z-Richtung gemessen würden, entstehen somit auch Spannungen in diese Richtungen deren Betrag sich nach Gl. (1) berechnen lässt [1].

Bild 3:

Simulation des schlanken Prüfkörpers im ebenen Dehnungszustand

Siehe auch

• Einachsiger Spannungszustand
• Energieelastizität
• Rissmodell nach IRWIN und Mc CLINTOCK
• Plastische Zone
• Plastic-Hinge-Modell

Literaturhinweis

[1]	Bierögel, C.: Quasistatische Prüfverfahren. In: Grellmann, W., Seidler, S. (Hrsg.): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (2025) 4. Auflage, S. 106–140 (ISBN 978-3-446-44718-9; E-Book: ISBN 978-3-446-48105-3; siehe AMK-Büchersammlung unter A 23)