Elastizitätsmodul Ultraschallmessungen

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Elastizitätsmodul Ultraschallmessungen

Grundlagen

In der Qualitätssicherung und Werkstoffprüfung ist es oftmals erforderlich, die durch zerstörungsfreie Prüfungen ermittelten Kennwerte auf elastische bzw. mechanische Kennwerte zurückzuführen. Dazu sind Kalibriermessungen notwendig, um eindeutige Zusammenhänge zwischen den mechanischen und akustischen Kenngrößen darzustellen. Die hier aufgeführte Korrelation zwischen elastischen und akustischen Kennwerten bezieht sich speziell auf die Werkstoffkenngrößen E-Modul E_t (aus dem Zugversuch) und der Schallgeschwindigkeit der Longitudinalwellen c_L.

Akustisch-mechanische Eigenschaftskorrelationen

Die gewünschte Korrelation kann dabei unterschiedliche funktionale Formen annehmen. Im einfachsten Falle besteht eine lineare Beziehung zwischen einer Kenngröße K₁ und einer Kenngröße K₂ (siehe Gleichung (1).

$K_{1}\sim K_{2}\!$

(1)

Man bestimmt graphisch oder per Regressionsfunktion die Proportionalitätskonstante bzw. die Kalibrierfunktion und kann damit jedem K₁-Wert eindeutig einen K₂-Wert zuordnen.

Analog zu dieser Vorgehensweise werden die Kennwerte aus den mechanischen und akustischen Messungen gegenübergestellt bzw. miteinander korreliert. Aus der Elastizitätstheorie ist der Zusammenhang zwischen den Kenngrößen E-Modul E_t und Schallgeschwindigkeit c_L bekannt, der durch die nachfolgende Gl. (2) beschrieben wird.

$c_{L}={\sqrt {{\frac {E_{t}}{\rho }}{\frac {\left(1-\mu \right)}{\left(1-2\mu \right)\left(1+\mu \right)}}}}$

(2)

Für die Bestimmung des E-Moduls aus der bekannten Schallgeschwindigkeit wird die Gl. (2) umgestellt und ergibt die Kalibrierfunktion für das linear elastische Werkstoffverhalten (siehe Gleichung (3)), falls die Dichte ρ für den untersuchten Werkstoff bekannt ist.

$E_{t}=c_{L}^{2}\cdot \rho {\frac {\left(1-2\mu \right)\left(1+\mu \right)}{1-\mu }}$

(3)

In der Praxis gilt diese Gleichung (3) bei Kunststoffen nur sehr eingeschränkt, da diese nur für elastisches Werkstoffverhalten (siehe Elastizität) und damit für den Bereich der Gültigkeit des HOOKE‘schen Gesetzes relevant ist. Kunststoffe besitzen jedoch einen sehr kleinen elastischen Bereich und werden bei kleinen Deformationen von den viskoelastischen Eigenschaften geprägt. Da diese in der Gl. (3) nicht berücksichtigt werden, ersetzt man diese durch die Gl. (4), in der der Proportionalitätsfaktor durch eine Funktion, die von der Dichte, der Poissonzahl und der Temperatur abhängig ist, beschrieben wird. Diese Proportionalitätsfunktion wird als Blackbox betrachtet, da diese Einflussfaktoren nur separiert darstellbar sind.

$E_{t}=c_{L}^{2}\cdot f\left(\rho ,\mu ,T\right)$

(4)

Beispiel für die Erstellung einer Kalibrierfunktion für PP

Als Beispiel ist eine Messung an Polypropylen (Kurzzeichen: PP) aufgeführt, die eine typische exponentielle Abhängigkeit besitzt (Bild 1). Die mechanischen und akustischen Kennwerte wurden bei definierten Temperaturen im Intervall von –40 bis +40 °C bestimmt, in das Diagramm eingetragen, und nachfolgend wurde eine quadratische Regressionsfunktion bestimmt.

Bild 1:

Abhängigkeit des Zug-E-Moduls Et von der Schallgeschwindigkeit cL von Polypropylen (Homopolymer)

Für die gesamte Kurve ergibt sich eine exponentielle Beziehung der beiden korrelierten Kenngrößen. Daher kann aus dem Diagramm zu jeder Schallgeschwindigkeit der zugehörige E-Modul bestimmt werden. Beispielsweise wird für eine Schallgeschwindigkeit von 2750 m/s ein E-Modul von 2600 MPa ermittelt (siehe Bild 1). Mit den Abweichungen der Messpunkte von der exponentiellen Ausgleichskurve kann der relative Fehler für den ermittelten E-Modul auf ca. 10 % abgeschätzt werden.

Nach Gl. (3) ist die Funktionalität zwischen dem E-Modul und der Schallgeschwindigkeit basierend auf der Elastizitätstheorie definiert. Da jedoch die Abhängigkeit des E-Moduls von der Schallgeschwindigkeit zusätzlich auch von der temperaturabhängigen Poissonzahl (Querkontraktionszahl) beeinflusst wird, geht der Anstieg von einer quadratischen Kurve in eine exponentielle Funktionalität über.

Literaturhinweise

[1]	Berktay, H. O.: Possible Exploitation of Non-Linear Acoustics in Underwater Transmitting Applications. J. Sound Vib., 1965, 2(4) S. 435–461
[2]	Moussatov, A., Castagnede, B.: Ultrasonic Defectoscopy of Damaged Materials by Modulation Transfer Method: Nonlinear Pump-Probe Interaction. WCU 2003, Paris, 7.–10. September (2003)
[3]	Šutilov, V. A.: Physik des Ultraschalls. Akademie Verlag, Berlin (1984) (ISBN 978-3-7091-8751-7)
[4]	Landau, L. D., Lifschitz, E. M.: Lehrbuch der theoretischen Physik – Elastzitätstheorie Bd. 7, Akademieverlag Berlin (2009) (ISBN 978-3-8085-5498-2)