MAXWELL-Modell

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MAXWELL-Modell

Mechanische Analogiemodelle

Das linear-viskoelastisches Verhalten von Kunststoffen ist näherungsweise im Modell durch die mathematische Kombination von linear-elastischen und linear-viskosen Prozessen darstellbar (siehe auch: Deformation). In der Mechanik verwendet man zur besseren Beschreibung mechanische oder elektrische Analogiemodelle. Dabei wird für das elastische Verhalten eine Feder und für das viskose Verhalten ein Dämpfer verwendet (Bild 1).
Dabei ist die lineare Viskoelastizität exakt nur für den Bereich infinitesimal kleiner Beanspruchungen definiert. Die Werkstoffeigenschaften sind also nur von der Zeit, nicht jedoch von der Höhe der mechanischen Belastung abhängig.

Feder- und Dämpfermodell der linearen Viskosität

Der elastische Anteil (HOOKE’sche Feder: Bild 1a) bewirkt eine spontane, begrenzte, reversible Verformung (siehe auch: HOOKE´sches Gesetz), während der viskose Anteil (Newton’scher Dämpfer: Bild 1b) grundsätzlich eine zeitabhängige, unbegrenzte, irreversible Deformation hervorruft. Der viskose und elastische Anteil ist bei verschiedenen viskoelastischen Kunststoffen jeweils unterschiedlich stark ausgeprägt und die Art des Zusammenwirkens beider Anteile differiert. Das viskoelastisches Verhalten kann also durch die Kombination zweier oder mehrerer dieser Elemente modelliert werden [1].

Bild 1:

Federmodell (a) und Dämpfermodell (b) der linearen Viskoelastizität

Bei Belastung der Feder entsteht spontan eine Verlängerung, die sich bei Entlastung verzögerungsfrei auf die Ausgangslänge zurückstellt. Bei linearem energieelastischem Verhalten zwischen Federkraft und Verlängerung bzw. Spannung und Dehnung ist eine vollständige Beschreibung durch das HOOKE’sche Gesetz (Gl. 1) möglich.

$\sigma =E\cdot \epsilon$

(1)

Der Dämpfer für NEWTON’sche Flüssigkeiten beschreibt das rein viskose Verhalten, welches wesentlich von der Viskosität η abhängig ist (Gl. 2). Die entstehende Spannung am Dämpfer wird bei konstanter Viskosität nur von der Deformationsgeschwindigkeit bzw. der Dehnrate dε/dt bestimmt.

$\sigma =\eta \cdot {\frac {d\epsilon }{dt}}$

(2)

Das MAXWELL-Modell

Die Reihenschaltung der beiden Elemente (Feder und Dämpfer) ergibt das MAXWELL-Modell (Bild 2). Bei einer Belastung verformt sich die Feder unverzüglich, danach beginnt die zeitabhängige und unbegrenzte viskose Verformung, die von der Viskosität abhängig ist. Nach Entlastung bewegt sich nur die Feder zurück und der viskose Anteil bleibt bestehen. Es liegt demzufolge eine zeitabhängige, unbegrenzte, irreversible Verformung wie bei einer Flüssigkeit vor, allerdings gibt es auch einen zeitunabhängigen und reversiblen spontanelastischen Anteil wie bei einem Festkörper. Das MAXWELL-Modell stellt den einfachsten Modellansatz zur Beschreibung des Relaxationsverhalten von Kunststoffen dar [2], der auf der Addition von elastischen und viskosen Deformationsanteilen (siehe: Deformation) beruht (Gl. 3).

Bild 2:

Deformationsverhalten des MAXWELL-Modells (Relaxationsverhalten)

${\frac {d\epsilon }{dt}}={\frac {d\epsilon _{1}}{dt}}+{\frac {d\epsilon _{2}}{dt}}$

(3)

Setzt man die zeitliche Ableitung von Gl. (1) sowie Gl. (2) in die Gl. (3) ein, dann erhält man die mathematische Beschreibung für den MAXWELL-Körper (Gl. 4).

$\sigma =\eta \cdot {\frac {d\epsilon }{dt}}+{\frac {\eta }{E}}\cdot {\frac {d\sigma }{dt}}$

(4)

Beschreibung des Relaxationsverhalten von Kunststoffen

Für die Relaxation gilt ε = ε₀ = konst., so dass dε/dt = 0 wird und die Spannung σ nur von der Zeit abhängt. Durch Integration folgt dann die Gl. (5), die eine einfache Beschreibung des Relaxationsverhaltens von Kunststoffen erlaubt (Bild 3).

$\sigma \left(t\right)=\sigma _{0}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau _{rel}}}}$

(5)

Der Quotient η/E entspricht der Zeitkonstante bzw. Relaxationszeit τ_rel, die angibt nach welcher Zeit die Spannung σ auf den e-ten Teil der Ausgangspannung σ₀ abgefallen ist. Mit einer Relaxationszeit ist das Maxwell-Modell nur unzureichend in der Lage, das komplexe Relaxationsverhalten realer Kunststoffe zu beschreiben. Eine Verbesserung der Übereinstimmung zwischen Modell und Experiment wird durch Einführung eines diskreten Relaxationszeitspektrums erreicht. Dies kann im Analogiemodell durch eine Parallelschaltung mehrerer MAXWELL-Elemente erreicht werden.

Bild 3:

Zeitverhalten des MAXWELL-Modells (Relaxationsverhalten)

Literaturhinweise

[1]	Lüpke, T.: Grundlagen mechanischen Verhaltens. In: Grellmann, W., Seidler, S. (Hrsg.): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (2015) 3. Auflage S. 91/92, (ISBN 978-3-446-44350-1; siehe AMK-Büchersammlung unter A 18)
[2]	Bierögel, C.: Biegeversuch an Kunststoffen. In: Grellmann, W., Seidler, S. (Hrsg.): Kunststoffprüfung. Carl Hanser Verlag, München (2015) 3. Auflage, S. 147–158 (ISBN 978-3-446-44350-1; siehe AMK-Büchersammlung unter A 18)